$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$
मेरा निम्नलिखित कार्य है:
$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$
मुझे यह जांच करनी है कि क्या यह कार्य निरंतर है। मैं अंतरिक्ष से भयभीत हूं$ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$। क्या इस तरह की समस्याओं से निपटने के लिए एक सामान्य नियम है?
मुझे लगता है कि मुझे यहाँ कुछ भी करने के लिए सामयिक स्थान / मीट्रिक रिक्त स्थान का उपयोग करने की आवश्यकता है। मेरा भोलापन पहले इस पर था:
$f_1:x \mapsto \sin(x)$ निरंतर है। $f_2:x\mapsto e^x$निरंतर है। इसलिए,$f_1\circ f_2$यह भी निरंतर है, क्योंकि मैं इसे सामान्य टोपोलॉजी से जानता हूं। लेकिन मेरे यहाँ फंक्शन्स का एक सेट है और मुझे प्रोडक्ट टोपोलॉजी का उपयोग करने के लिए किसी तरह की आवश्यकता है ...
इस पर कोई मदद?
जवाब
रिक्त स्थान के लिए $X, Y$, के लिए कई संभव टोपोलॉजी हैं $Y^X$ (जैसा कि व्याख्या की गई है $Y^X = \mathcal C (X,Y)$निरंतर मानचित्रों का स्थान$X → Y$), दो सबसे प्राकृतिक जा रहा है
- कॉम्पैक्ट खुले टोपोलॉजी है, जो काफी मोटा टोपोलॉजी ऐसा है कि सभी कार्यों के सेट खुले हैं में से कुछ तय कॉम्पैक्ट सेट के नक्शे कि है$X$ के कुछ निश्चित खुले सेट के लिए $Y$, तथा
- उत्पाद टोपोलॉजी है, जो बेहतरीन टोपोलॉजी सभी अनुमानों बना रही है - मूल्यांकन के रूप में व्याख्या इस मामले में -$Y^X → Y,~h ↦ h(x)$ के लिये $x ∈ X$ निरंतर।
कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के लिए । सामयिक स्थानों के लिए$X$, $Y$ तथा $Z$ साथ में $Y$स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट किया जा रहा है, वहाँ पता चला है एक द्विभाजन बुलाया होने की घातीय कानून , अर्थात्$$Z^{X×Y} \to (Z^Y)^X$$इस आक्षेप को करी भी कहा जाता है ।
इस मामले में, आप का अविवाहित संस्करण $f$ नक्शा है $$ℝ × ℝ → ℝ,~(x,t) ↦ \mathrm{e}^{t \sin x}.$$ अब घातीय कानून का अर्थ है कि $f$ निरंतर है अगर और केवल अगर यह नक्शा है - तो क्या यह है?
उत्पाद टोपोलॉजी के लिए , एक नक्शा$f \colon X → Z^Y$ निरंतर है और यदि केवल इसके सभी घटकों द्वारा दिया जाता है $X → Z,~x ↦ f(x)(y)$ के लिये $y ∈ Y$ हैं।
आपके मामले में, घटक सभी के लिए हैं $t ∈ ℝ$ के द्वारा दिया गया $$ℝ → ℝ,~x ↦ \mathrm{e}^{t\sin x}.$$ क्या ये निरंतर हैं?
कैवियट । जैसा कि आसफ करीगिला बताते हैं,$Y^X$आमतौर पर सभी मानचित्रों के सेट के रूप में व्याख्या की जाती है$X → Y$जिस मामले में एकल सबसे प्राकृतिक टोपोलॉजी फिर से उत्पाद टोपोलॉजी है, एक बार और सभी अनुमानों को बनाने वाले बेहतरीन टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है $Y^X → Y,~h ↦ h(x)$ के लिये $x ∈ X$निरंतर। इस मामले में, उत्पाद टोपोलॉजी के बारे में चर्चा अभी भी जारी है और आप की निरंतरता की जांच कर सकते हैं$f$ घटक-वार।