हल, निम्नलिखित सीमा

Aug 15 2020

तो, निम्नलिखित प्रश्न दिया गया है:

मैं इसे आंशिक रूप से हल कर सकता हूं, यहां मेरा दृष्टिकोण है: सीमा प्रपत्र की है $(A+B)/C$ कहां है $A$ तथा $B$ दोनों दृष्टिकोण $e^3$ जबकि $C$ दृष्टिकोण $0$,

यह केवल मूल्यांकन करके पता लगाया जा सकता है $A$ तथा $B$ अलग से।

अब, हम इस सीमा को लिख सकते हैं $$ \lim_{t \to 0} [(1+3t+2t^2)^{1/t} - e^3]/t -\lim_{t \to 0} [(1+3t-2t^2)^{1/t} - e^3]/t $$

लेकिन मैं इन दो सीमाओं का मूल्यांकन नहीं कर सकता कम से कम एलएच नियम का उपयोग कर के रूप में अंश के व्युत्पन्न काफी लंबी अभिव्यक्ति है। कृपया इस प्रश्न को हल करने का एक तरीका सुझाएं, सभी मदद की बहुत सराहना की जाती है।

जवाब

2 enzotib Aug 15 2020 at 19:19

\begin{align} &\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{1/t}-(1+3t+2t^2)^{1/t}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{\frac{1}{3t+2t^2}\frac{3t+2t^2}{t}}-(1+3t-2t^2)^{\frac{1}{3t-2t^2}\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{\frac{3t+2t^2}{t}}-e^{\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=e^3\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{2t}-e^{-2t}\right]=\\ &\qquad=2e^3\lim_{t\to0}\left[\frac{e^{2t}-1}{2t}+\frac{e^{-2t}-1}{-2t}\right]=4e^3 \end{align}

2 ClaudeLeibovici Aug 15 2020 at 21:25

$$A=(1+3t+2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(A)=\frac 1 t \log(1+3t+2t^2)$$ $$ \log(1+3t+2t^2)=3 t-\frac{5 t^2}{2}+3 t^3-\frac{17 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(A)=3-\frac{5 t}{2}+3 t^2-\frac{17 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e^3\left(1-\frac{5 t}{2}+\frac{49 t^2}{8}-\frac{689 t^3}{48}\right)+O\left(t^4\right) $$

$$B=(1+3t-2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(B)=\frac 1 t \log(1+3t-2t^2)$$ $$ \log(1+3t-2t^2)=3 t-\frac{13 t^2}{2}+15 t^3-\frac{161 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(B)=3-\frac{13 t}{2}+15 t^2-\frac{161 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$B=e^{\log(B)}=e^3\left(1-\frac{13 t}{2}+\frac{289 t^2}{8}-\frac{8809 t^3}{48} \right)+O\left(t^4\right) $$ $$A-B=4 e^3 t-30 e^3 t^2+\frac{1015 e^3 t^3}{6}+O\left(t^4\right)$$ $$\frac{A-B}t=4 e^3 -30 e^3 t+\frac{1015 e^3 t^2}{6}+O\left(t^3\right)$$ सीमा दिखाता है और यह कैसे संपर्क किया जाता है।

1 PeterForeman Aug 15 2020 at 19:11

टेलर के प्रमेय का उपयोग प्राकृतिक लघुगणक और घातीय पर हम करते हैं \begin{align} (1+3t+2t^2)^{1/t} &=\exp{\left(\frac{\ln{(1+3t+2t^2)}}t\right)}\\ &=\exp{\left(\frac{(3t+2t^2)-(3t+2t^2)^2/2+o(t^2)}t\right)}\\ &=\exp{\left(3-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\exp{\left(-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right) \end{align} और इसी तरह हमारे पास है $$(1+3t-2t^2)^{1/t}=e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)$$ तो आपकी सीमा बस है \begin{align} \lim_{t\to0}\frac{e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right)-e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)}t &=\lim_{t\to0}\frac{4e^3t+o(t)}t\\ &=\lim_{t\to0}(4e^3+o(1))\\ &=\boxed{4e^3}\\ \end{align}