के लिए सबूत $\max(A+B) = \max(A) + \max(B)$ सही बात?

Question

नमस्ते मैं निम्नलिखित साबित करने की कोशिश कर रहा हूँ: चलो $A, B \subset \mathbb {Q}$ तथा $A+B = \{a+b: a\in A, b \in B\}$।

मान लीजिए $\max(A)$ तथा $\max(B)$ मौजूद है, यह दिखाएं $\max(A+B)$ भी मौजूद है और वह

$$\max(A+B)= \max(A) + \max(B)$$

मेरे पास निम्नलिखित प्रमाण हैं, मुझे यकीन नहीं है कि यह सही है:

असली संख्या $\max(A) + \max(B) \geq x$ सबके लिए $x \in A+B$

जबसे $\max(A) \in A$ तथा $\max(B) \in B$ की परिभाषा $A+B$ उस $\max(A+B) \in A+B$ आयोजित करता है।

अब छोडो $x \in A+B$। $\Rightarrow$ वहां मौजूद $a \in A$ तथा $b \in B$ ऐसा है कि $x = a+b$

की परिभाषा के अनुसार $\max$ तथापि, $\max(A) \geq a$ तथा $\max(B) \geq b$।

इसलिये $\max(A) + \max(B) \geq a+b = x$

क्या यह प्रमाण सही है?

Answer 1

आपका प्रमाण सही है, लेकिन थोड़ा बेमानी है। आपने वह कर दिखाया$\max(A)+\max(B) \ge x$ सबके लिए $x \in A+B$, और आपने बताया कि कैसे $\max(A)+\max(B) \in A+B$। यह दिखाने के लिए कि हमें क्या चाहिए, जैसा कि हमने एक ऊपरी सीमा के लिए पाया है$A+B$ वह भी इसमें शामिल है $A+B$, इसलिए यह अधिकतम है।