खिलाड़ी और टिकट
आप एन खिलाड़ियों में से हैं जो एक प्रतियोगिता खेलेंगे। प्रत्येक खिलाड़ी के प्लेसमेंट को निर्धारित करने के लिए एक लॉटरी का उपयोग किया जाता है। आपको एक फायदा है। आपके नाम के साथ दो टिकट एक टोपी में रखे गए हैं, जबकि अन्य खिलाड़ियों में से प्रत्येक के लिए उसके नाम के साथ केवल एक ही टिकट है। टोपी को अच्छी तरह से हिलाया जाता है और टोपी से एक-एक करके टिकट निकाले जाते हैं। प्रदर्शित होने वाले नामों का क्रम प्रत्येक खिलाड़ी के प्लेसमेंट को निर्धारित करता है। क्या संभावना है कि आप को सौंपा जाएगा$n$के लिए वें स्थान $n = 1, 2, . . . , N$?
संभावना है कि मेरा नाम तैयार है $k$वें प्रयास है $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (यानी कहने के लिए $k-1$ पहली सफलता में असफलताएँ $k$) है। मुझे पता है कि समाधान है$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$।
लश्कर $A_i$ ऐसी घटना हो जो मेरे नाम के अनुरूप दिखाई दे $i$वें प्रयास। इसलिए:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$।
इस प्रकार मैंने सोचा कि
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
लेकिन मैं मुझे उत्पाद के ऊपर नहीं ले जा सकता। मैं गलत कहाँ हूँ?
जवाब
मुझे आपके (लगभग) एक ही परिणाम मिलता है, इस धारणा के तहत "एक बार एक नाम खींचा और रख दिया गया, उस नाम के साथ भविष्य के किसी भी टिकट को अनदेखा किया जाता है":
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
वहां $n-1$ पहले से निपटने की शर्तें $n-1$असफल ड्रॉ और सफल ड्रॉ के साथ अंतिम। हर कारक प्रत्येक कारक में 1 से घट जाता है क्योंकि प्रत्येक ड्रॉ के बाद टिकटों की संख्या 1 से घट जाती है। पहेली बार के लिए$n-1$ शब्द (असफल ड्रॉ) एन्यूमरेटर 1 से कम हो जाता है, इसलिए हर और एन्यूमरेटर के बीच अंतर हमेशा रहेगा $2$ उन शब्दों में (आपके 2 टिकटों का प्रतिनिधित्व)।
उस परिणाम के रूप में लिखा जा सकता है
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
आपका "ज्ञात समाधान" के लिए खाली उत्पाद दे रहा है $n=1$, तो इसका मतलब होगा संभावना 1, जो स्पष्ट रूप से सही नहीं है। इसलिए कृपया जांच लें कि आपने इसे सही तरीके से कॉपी किया है या नहीं।
आपका समाधान बड़े पैमाने पर सरल करता है। किसी कारण से, \ रद्द करने से काम नहीं चलता है, इसलिए मैंने यह दर्शाने की कोशिश की है कि एक ही रंग में रद्द करने वाले शब्दों को दिखाने का मेरा क्या मतलब है। मैं केवल इस तरह से पहले कुछ शब्द दिखा सकता हूं, दुर्भाग्य से।
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
यहाँ यह करने के लिए एक बेहतर तरीका है।
लश्कर $1\leq n\leq N$दिया गया।
लश्कर$A$ घटना है कि आपका नाम पर है $n$वें टिकट। लश्कर$B$ घटना है कि आप का नाम किसी भी टिकट पर नहीं है $1,2,\dots,n-1$। हमारी मांग है कि$\Pr(A\cap B)$।
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
पहला कार्यकाल स्पष्ट है। दूसरे के लिए, वहाँ हैं$N$ ऐसे स्थान जहां आपके नाम के साथ दूसरा टिकट हो सकता है, और $N+1-n$ उनमें से के बाद आते हैं $n$वें टिकट।
यदि आप ऊपर वर्णित सरलीकरण करते हैं, तो आप इस सरल उत्तर पर आएंगे।
शायद मुझे समझ नहीं आ रहा है कि यह संभाव्यता प्रयोग कैसे किया जा रहा है, लेकिन मुझे बाकी सभी की तुलना में अलग जवाब मिल रहा है। शायद कोई इंगित कर सकता है कि मेरा तर्क अनुचित क्यों है, अगर इसमें से कोई भी है?
मान लेते हैं कि एक खिलाड़ी का नाम चुने जाने के बाद, उस नाम के किसी भी भविष्य के टिकट को अनदेखा कर दिया जाता है।
टिकटों की संख्या को खींचा जा सकता है ताकि आपका नाम पता चले $n^{th}$ स्लॉट है ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
टिकटों की कुल संख्या को खींचा जा सकता है ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
इन दोनों को विभाजित करने से इस बात की संभावना बढ़ जाती है $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
इसे देखने के लिए हम एक विशिष्ट उदाहरण देख सकते हैं। मान लीजिए कि आप एक लॉटरी में खेलने वाले व्यक्ति # 1 हैं$N-1=2$ अन्य लोग और $ \{1,1^*\} $ आपके दो योगदान टिकटों का प्रतिनिधित्व करता है $N+1=4$टोपी में टिकट। हम टोपी में सभी टिकटों के संग्रह को निरूपित करेंगे$\{1,1^*,2,3\}$। हम सभी को सूचीबद्ध कर सकते हैं${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ नामों के संभावित आदेश स्पष्ट रूप से: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ संभावना है कि आप को सौंपा है $n^{th}$ प्लेसमेंट है $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ के लिये $n=1,2,3$ जो मुझे पूरी तरह समझ में आता है।