खोज $\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})$

Question

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{\cos{x}}{e^x}\right)$$

वहां से, मुझे वह दिखाई देता है $e^x$ दृष्टिकोण $0$ जबकि $\cos{x}$ के बीच दोलन करता है $-1$ तथा $1$।

मेरा जवाब है कि सीमा मौजूद नहीं है । इसे समझाने का उचित तर्क क्या है? क्या सीमा हमेशा के लिए दोलन करती है, दृष्टिकोण$\pm\infty$, आदि।?

Answer 1

हाँ आपका विचार सही है, यह दिखाने के लिए कि कठोर तरीके से उस पर विचार करें $x_n= -2\pi n \to -\infty$ जैसा $n\to \infty$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=e^{-x_n}=\infty$$

और किसके लिए $x_n= -\pi n$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=-e^{-x_n}=-\infty$$

इसलिए सीमा मौजूद नहीं है।

Answer 2

लेना $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, कहाँ पे $k$ पूर्णांक है और $k\rightarrow-\infty$।

हम देखते है कि $e^{-x}\cos{x}=0.$

दूसरे हाथ में, के लिए $x=\pi k$ तथा $k\rightarrow-\infty$ हमारे पास है $|e^{-x}\cos{x}|\rightarrow+\infty$।

Id est, सीमा मौजूद नहीं है।

Answer 3

अनुक्रम पर अनुपात परीक्षण लागू करें $x=-2\pi n$।