क्या कोई 'निश्चितता' सिद्धांत है?
हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत एक प्रतिबंध है जिस पर संभाव्यता वितरण क्वांटम कण की स्थिति और गति का वर्णन कर सकते हैं।
गणितीय शब्दों में यह कहता है कि यदि $\psi\in L^2$ सामान्यीकृत है, और हम परिभाषित करते हैं $f,g\in L^1$ द्वारा द्वारा $f(x)=|\psi(x)|^2$ तथा $g(k)=|\hat\psi(k)|^2$ तो हमारे पास हैं $$V(f)V(g)\geq\frac14$$ कहां है $V$ दी गई घनत्व फ़ंक्शन के साथ प्रायिकता वितरण का प्रसरण है।
एंट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत और हार्डी के अनिश्चितता सिद्धांत सहित विभिन्न अन्य अनिश्चितता सिद्धांत हैं । परिभाषित$f,g\in L^1$यदि मौजूद हो तो संगत होना$\psi\in L^2$ ऐसा है कि $f(x)=|\psi(x)|^2$ तथा $g(k)=|\hat{\psi}(k)|^2$। फिर प्रत्येक अनिश्चितता सिद्धांत एक ऐसी स्थिति बताता है जो संगत है$f$ तथा $g$ पालन ज़रूर करें।
मैंने एक जिज्ञासु तथ्य पर ध्यान दिया, जो साहित्य में मुझे 'अनिश्चितता सिद्धांत' के रूप में पाया जा सकता है। तय के लिए$f$ पर प्रतिबंध $g$हमेशा उत्तल सेट होता है। उदाहरण के लिए सेट$g$ संतोषजनक $V(g)\geq\frac1{4V(f)}$ उत्तल है क्योंकि विचरण संभावना वितरण के स्थान पर अवतल कार्य है।
यह 'अनिश्चितता सिद्धांत' नाम से समझ में आता है। सहजता से, संभाव्यता वितरण को मिलाने से उन सभी के मुकाबले अधिक 'निश्चित' परिणाम उत्पन्न नहीं हो सकता है।
हालांकि, एक खिलौना मॉडल के रूप में असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म के साथ खेलना, मैंने देखा कि का सेट $g$ एक दिया के साथ संगत $f$ उत्तल नहीं होना चाहिए।
बेतरतीब ढंग से नमूना $g$ के साथ संगत $f = (0.46,0.46,0.08)$ तथा $f = (0.46,0.46,0.07,0.01)$:
ध्यान दें कि ये सेट गैर-संवेदी हैं, और इनमें अधिकतम-अनिश्चित यूनिफ़ॉर्म वितरण (संभव वितरण के सिम्प्लेक्स का केंद्र बिंदु) भी नहीं है। तो इन सेटों में वितरण की अनिश्चितता ऊपर और साथ ही नीचे से बंधी हुई है।
वितरण के मामले में $\mathbb R$, क्या हम एक भी पा सकते हैं $f$ जिसके लिए हम संगत के सेट को साबित कर सकते हैं $g$ उत्तल नहीं है?
क्या कोई 'निश्चित सिद्धांत' है, जिसके लिए $f$ कुछ वर्ग के भीतर, संगत के विचरण या एन्ट्रापी पर एक ऊपरी बाउंड डालता है $g$?
जवाब
अनुरोध करके , मैं कुछ अतिरिक्त विवरणों के साथ एक उत्तर के रूप में एक टिप्पणी जोड़ता हूं ; लेकिन मेरा मतलब है कि वास्तव में सीधा है। सबसे सरल बोध इस प्रकार है: कोई भी ले लो$\psi\in L^2$। प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए इसके समर्थन को सूक्ष्मता से कई भागों में विभाजित करें$\psi=\sum_{k= 0}^N\psi_k$ कहां है $\psi_0$ में छोटा है $L^2$ (अनंत पूंछ) और $\psi_k$ के लिये $k>0$ छोटे हैं (से कम) $\varepsilon$में) $L^1$(संक्षिप्त अंतराल)। अब प्रत्येक को गुणा करें$\psi_k$ साथ से $k>0$ द्वारा द्वारा $e^{2\pi i Mkx}$ साथ से $M$ ऐसा चुना $\sup_{\lvert y\rvert>M,1\le k\le N}\lvert\widehat\psi_k(y)\rvert\le \frac{\varepsilon}N$(यह रीमैन-लेब्सेग द्वारा मौजूद है)। फिर किसी भी बिंदु पर परिणामी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण$y$ द्वारा बाध्य किया जाएगा $\lvert\widehat\psi_0(y)\rvert+3\varepsilon$। पहला भाग कुछ भी प्रभावित नहीं करता है क्योंकि$L^2$-नर्म छोटा है और बाकी समान रूप से छोटा है और इसलिए, व्यापक फैला हुआ है।
अगर $\psi\in L^1\cap L^2$, तो का कोई विशेष उपचार $\psi_0$ज़रूरी है। इसके अलावा, आप कई समान भागों में विभाजित करके और केवल एक अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करने के बजाय चरण शिफ्टों को चुनकर वास्तविक समान लघुता प्राप्त कर सकते हैं। और इस प्रकार आगे भी।
संपादित करें: अब उत्तलता के बारे में। लेना$f$ पर विशेषता समारोह होना $[0,1]$ और विचार करें $g(k)$ कहां है $k\in\mathbb Z$(इस मामले में बिंदु मान निरंतर कार्यशील हैं)। स्पष्ट रूप से, सभी क्रम सभी शून्य और एक के साथ$1$ स्वीकार्य है ($\psi(x)=e^{2\pi ik_0x}$ पर $[0,1]$) का है। इस प्रकार, अगर उत्तलता आयोजित की गई थी, तो हम एक फ़ंक्शन का निर्माण करने में सक्षम होंगे$[0,1]$ यह पहचान है $1$ (या, कम से कम, जैसा कि हम चाहते हैं, उसके करीब) ऐसे $g(0)=g(1)=\frac 12$ और अन्य सभी $g(k)=0$। हालांकि, यह समान गुणांक वाले दो-दिवसीय बहुपद होगा, इसलिए यह निरपेक्ष मूल्य में काफी भिन्न होगा$[0,1]$। यह कम से कम साबित होता है कि कभी-कभी उत्तलता पकड़ में नहीं आती है। मुझे संदेह है कि इस चाल को काफी सामान्यीकृत किया जा सकता है लेकिन विवरण अभी तक मायावी हैं।
साथ में $D_x=\frac{d}{i dx}$अपने सबसे शास्त्रीय रूप में हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत को समानता से घटाया जा सकता है $$ 2\Re \langle \hbar D_x u, ix u \rangle_{L^2(\mathbb R)}= \langle \bigl[\hbar D_x, ix\bigr] u, u \rangle_{L^2(\mathbb R)}=\hbar\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $$ जो ये दर्शाता हे $ \Vert \hbar D_x u\Vert_{L^2(\mathbb R)}\Vert xu\Vert_{L^2(\mathbb R)}\ge \frac\hbar 2\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $ जहां स्थिर है $\hbar/2$एक गाऊसी समारोह पर परीक्षण करके तेज साबित किया जा सकता है। इतना नीचे वाले के लिए। शायद एक "निश्चित सिद्धांत" का मतलब होगा कि हम ऊपरी (?) से निपटना चाहते हैं$$ \Vert \hbar D_x u\Vert_{L^2(\mathbb R)}\Vert xu\Vert_{L^2(\mathbb R)}\ge \Re \langle \hbar D_x u, ix u \rangle_{L^2(\mathbb R)}= \frac\hbar 2\Vert u\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2, $$ लेकिन यह सच है कि बाएं हाथ की ओर की तुलना में बहुत बड़ा हो सकता है: उदाहरण के लिए ले लो $\omega$ चिकनी, में मूल्यवान है $[0,1]$, 1 के बराबर $\vert x\vert\ge 2$, पर ० $\vert x\vert\le 1$, $\lambda \ge 1$, $$ u_\lambda(x)=(x^2+1)^{-1/2}\omega(x/\lambda),\quad \Vert u_\lambda\Vert_{L^2(\mathbb R)}^2 \le π, $$ $$ u'_\lambda(x)=-\underbrace{x(x^2+1)^{-3/2}\omega(x/\lambda)}_{\text{bounded in $एल ^ 2$}}+\underbrace{\frac1\lambda \omega'(x/\lambda) (x^2+1)^{-1/2}}_{\substack{ \text{with limit $०$ in $एल ^ 2$}\\\text{since $\ _ ओमेगा '$ has support $[\ lambda, 2 \ lambda]$} }}, $$ $$ x u_\lambda(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \omega(x/\lambda),\quad \Vert xu_\lambda(x)\Vert_{L^2(\mathbb R)}={+\infty}. $$ परिणामस्वरूप, ऊपरी भाग है $+\infty$।
आपको ब्याज के वॉन न्यूमैन-कोपमैन यांत्रिकी मिल सकते हैं। यहाँ, शास्त्रीय यांत्रिकी को एक ही औपचारिक भाषा में दिया जाता है, जो कि डायकस परिवर्तनकारी सिद्धांत की थी, जिसमें श्रोडिंगर के वेव मैकेनिक्स और हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स मैकेनिक्स दोनों शामिल थे।
क्वांटम यांत्रिकी के रूप में वेधशालाएं, केएनएन तरंग कार्यों के हिल्बर्ट स्थान पर स्व-सहायक ऑपरेटरों द्वारा प्रस्तुत की जाती हैं। हालांकि, क्वांटम यांत्रिकी के विपरीत, ये ऑपरेटर कम्यूट करते हैं और इसलिए एक साथ मापने योग्य हैं। इसका मतलब यह है कि हाइज़ेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत शास्त्रीय न्यूटनियन यांत्रिकी के सामान्य नियतात्मक कानूनों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना गायब हो जाता है - उर्फ, एक 'निश्चित सिद्धांत'।