लॉग-उत्तलता की विशेषता

Question

मैंने पढ़ा कि अगर हम लेते हैं $f: \mathbb{R} \to (0, +\infty)$, ऐसा सभी के लिए $a \in \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{ax}f(x)$ उत्तल है तो $f$ लॉग-उत्तल है (अर्थ) $\log \circ f$ उत्तल है)।

मैंने इसे साबित करने की कोशिश की, लेकिन मैं नतीजे पर नहीं पहुंच सका।

हालाँकि, मैंने यह भी पढ़ा कि यदि सभी के लिए $a \in \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{ax}f(x)$ उत्तल है तो $x \mapsto (f(x))^{a}$ सभी के लिए उत्तल है $a > 0$। मुझे कोई प्रमाण नहीं मिला ... लेकिन मैं यह साबित करने में कामयाब रहा कि यदि यह अंतिम स्थिति सत्यापित है, तो$f$ लॉग उत्तल है।

इसलिए क्या आप कृपया मुझे इन दोनों में से किसी एक कथन को सिद्ध करने में मदद कर सकते हैं (या तो पहले एक, जो वास्तव में वह परिणाम है जो मैं अंत में चाहता हूं, या दूसरा एक, जो मुझे पहले परिणाम तक ले जा सकता है)?

धन्यवाद।

Answer 1

वास्तविक संख्याएँ ठीक करें $x < y$ तथा $0 < \lambda < 1$। जबसे$x \mapsto e^{ax}f(x)$ उत्तल है, हमारे पास है $$ e^{a(\lambda x + (1-\lambda) y} f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le \lambda e^{ax}f(x) + (1-\lambda)e^{ax}f(x) $$ जो के बराबर है $$ \begin{align} f(\lambda x + (1-\lambda) y) &\le \lambda e^{a(1-\lambda)(x-y)}f(x) + (1-\lambda)e^{a \lambda(y-x)}f(y) \\ &= \lambda C^{1-\lambda}f(x) + (1-\lambda)C^{-\lambda}f(y) \end{align} $$ साथ में $C = e^{a(x-y)}$। यह सभी के लिए है$a \in \Bbb R$, इसलिए हम चुन सकते हैं $a$ ऐसा है कि $C = f(y)/f(x)$। यह देता है$$ f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le f(x)^{\lambda} f(y)^{1-\lambda} $$ और इसके लिए बिल्कुल उत्तल स्थिति है $\log \circ f$।

टिप्पणियों:

• विपरीत निष्कर्ष के रूप में अच्छी तरह से रखती है: यदि $f: \Bbb R \to (0, +\infty)$ तब लॉग-उत्तल है $x \mapsto e^{ax}f(x)$ सभी के लिए उत्तल है $a \in \Bbb R$।
• इस लक्षण वर्णन का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि लॉग-उत्तल कार्यों का योग फिर से लॉग-उत्तल है। ।