मैनिफोल्ड्स बोरेल सेट हैं

Question

विचार करें $M\subseteq \mathbb{R}^n$, (एम्बेडेड) $C^{k\geq 1}$ कई गुना।

है $M$ बोरेल?

मुझे लगता है कि हाँ, लेकिन मैं यह साबित करने पर अड़ गया। कुछ संदर्भ के लिए, मैं जाँच कर रहा था कि हौसडॉर्फ़ उपायों के संबंध में कई गुना अभिन्न हैं।

मेरी कोशिश:

1. निरंतर कार्यों के ग्राफ बोरेल हैं: चलो $U$ खुला हो और $f:U \rightarrow \mathbb{R}^q$निरंतर रहो। लश्कर$\phi(x)=(x,f(x))$एक सतत कार्य। हम लिख सकते है$U=\bigcup_n K_n$ कुछ कॉम्पैक्ट सेट के लिए $K_n \subseteq U$ और इसीलिए $\text{graf}f=\phi(U)=\bigcup_n\phi(K_n)$, ताकि का ग्राफ $f$ कॉम्पैक्ट की गणना योग्य संघ है (इसलिए बोरेल) सेट।
2. एक "कई स्थानीय रूप से" का ग्राफ है $C^k$ समारोह: इसके द्वारा मेरा मतलब है कि $M$ कुछ के रेखांकन की गणनीय संघ है $C^k$कार्य करता है। यहां मैं फंस गया हूं। मुझे पता है$M$स्थानीय रूप से एक ग्राफ है, लेकिन मुझे गणना करने योग्य संपत्ति नहीं मिल सकती है। मैं वास्तविक संख्याओं में तर्कसंगतता के घनत्व का उपयोग करने के बारे में सोच रहा था, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह जाने का रास्ता है, तो भी मुस्कराते हुए मुझे यकीन नहीं है कि दूसरी गणना$M$ कई गुना (नीचे देखें) की मेरी परिभाषा के साथ गारंटी है।

क्या आपके पास पॉइंट 2 के माध्यम से प्राप्त करने का कोई संकेत है, बशर्ते मेरा दावा सही है?

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$M\subseteq \mathbb{R}^n$ एक एम्बेडेड है $C^{k\geq 1}$ $m-$अगर हर के लिए कई गुना $p$ में $M$ वहां मौजूद $U\subseteq \mathbb{R}^m$ खुला और $\phi:U\rightarrow M$ कक्षा के $C^{k}$ ऐसा है कि:

• $\phi(U)$ का एक पड़ोस है $p$, में खुलेगा $M$
• $\phi$ अपनी छवि पर एक घरवाद है
• $d\phi$ हर जगह इंजेक्शन है

Answer 1

$\bullet$ $\mathbb R^n$ एक गणनीय आधार के साथ दूसरा गणनीय है $B$ तर्कसंगत रेडी और केंद्रों के साथ सभी गेंदों द्वारा दिया गया।

$\bullet$ दूसरे गणनीय स्थानों के उप-स्थान दूसरे गणनीय हैं: यदि $Y\subseteq X$ तथा $B$ के लिए एक गणनीय आधार है $X$, फिर $\{U\cap Y: U\in B\}$ के लिए एक गणनीय आधार है $Y$।

$\bullet$दूसरा काउंटेबल स्पेस लिंडेलोफ हैं: कोई भी ओपन कवर काउंटेबल सबकुवर (उदाहरण के लिए यहां या यहां देखें ) को स्वीकार करता है ।

तो एक एम्बेडेड उपमान $M$ का $ \mathbb R^n$ एक महाद्वीप फ़ंक्शन के ग्राफ को "स्थानीय रूप से" कहा जाता है, जो आपके प्रमाण को पूरा करता है।