में प्रमुख तत्व $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$

Question

मुझे यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन से तत्व हैं $3+2\sqrt{5}$, $9+4\sqrt{5}$ तथा $4-\sqrt{5}$ में प्रमुख तत्व हैं $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, जो क्रमशः जुड़े हुए हैं।

मेरा ansatz इस प्रकार है:

तो चलो $x=3+2\sqrt{5}$ विभाजन $ab$ के लिये $a,b \in R$। इस प्रकार, वहाँ हैं$u,v \in \mathbb{Z}$, ऐसा है कि $$ab=(a_1+b_1\sqrt{5})(a_2+b_2\sqrt{5})=(a_1a_2+5b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1\sqrt{5})=(u+v\sqrt{5})(3+2\sqrt{5})=(3u+10v)+(3v+2u)\sqrt{5}.$$ मैं जाँच करने के लिए यहाँ से कैसे जाऊँ $x|a$ या $x|b$?

Answer 1

$3+2\sqrt{5}$ आदर्श है $-11$ तथा $4-\sqrt{5}$ आदर्श है $11$। शायद वे सहयोगी हैं। वास्तव में$$ \frac{3+2\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = 2+\sqrt{5} $$ तथा $2+\sqrt{5}$ एक इकाई है क्योंकि इसमें आदर्श है $-1$। असल में,$(2+\sqrt{5})(-2+\sqrt{5})=1$।

$9+4\sqrt{5}$ एक इकाई है क्योंकि इसमें आदर्श है $1$ इसलिए $(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})=1$।

यह तय करना बाकी है कि क्या $3+2\sqrt{5}$प्रमुख है। विचार करें$$ \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5} \rangle} = \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5},11 \rangle} = \frac{\mathbb Z[X]}{\langle X^2-5,3+2X,11 \rangle} \cong \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,3+2X \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,2(7+X) \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,X+7 \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X+7 \rangle} \cong \mathbb Z_{11} $$जो एक डोमेन है। इसलिए,$3+2\sqrt{5}$ प्रमुख है।