मीट्रिक का भिन्नता
मैं आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों की व्युत्पत्ति को देख रहा हूं क्योंकि हिल्बर्ट कार्यात्मक के यूलर-लाग्रेंज समीकरण हैं। ऐसा करने के लिए एक बदलाव के साथ शुरू होता है$$ g(t) = g+th $$ मीट्रिक के, कहाँ $h$एक सममित 2-सहसंयोजक टेंसर है। छोटे के लिए$t$, $g(t)$ उलटा होगा (यदि हम इसे एक मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या करते हैं), तो यह घटकों पर विचार करने के लिए समझ में आता है $g(t)^{ij}$उलटा। हमारे पास है$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ मेरा सवाल: वास्तव में गुणांक क्या करते हैं$h^{lk}$ प्रतिनिधित्व करते हैं?
मैंने हमेशा सोचा था कि अगर कोई एक, कहे, 1-सहसंयोजक टेंसर $A = A_i dx^i$, तब फिर $A^i$ 1-कॉन्ट्रैरिएंट टेंसर के घटकों को निरूपित करें $A^\#$(cf. musical isomorphisms ), द्वारा दिया गया$A^i = g^{ij}A_j$। लेकिन के लिए सूत्र में$h^{lk}$ ऊपर हमारे सामने एक माइनस साइन है, जहाँ तक मैं गुणांक देख सकता हूँ $h^{lk}$ के सूचकांकों को बढ़ाकर प्राप्त नहीं किया जाता है $h_{lk}$। यह कहा जा रहा है, इस मामले में मीट्रिक वास्तव में तय नहीं है, इसलिए संगीत समरूपताएं या तो नहीं हैं, जो मेरे लिए भ्रम का स्रोत हो सकती हैं।
जवाब
आपकी गलती है $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$असल में, $h^{jk}$ के दोनों सूचकांक बढ़ाने से प्राप्त किया जाता है$h_{jk}$। आपने जो दिखाया है, वह है$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$इसके पीछे दर्शन है: आप जानते हैं कि वक्र का प्रारंभिक वेग $t\mapsto g(t)$ है $h$, और आप संबंधित अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के प्रारंभिक वेग की गणना करना चाहते हैं $g(t)$ के अनुसार $h$। व्युत्क्रम गुणांक के वक्र का प्रारंभिक वेग है$-h$ (संगीत समरूपता तक)।
गुणांक के साथ काम करते हुए, आप मैट्रिक्स झूठ समूहों पर गणना कर रहे हैं। वहाँ, व्युत्क्रम के व्युत्पन्न के लिए सूत्र$\iota(A)=A^{-1}$ द्वारा दिया गया है $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, तो सब कुछ ठीक है (साथ तुलना करें) $(1/x)'=-1/x^2$और इसे गैर-कम्यूटेटिव बनाएं; से प्रत्येक$A^{-1}$ एक सूचकांक बढ़ाने से मेल खाती है)।