नक्शा, इंजेक्शन या दोनों?

Question

हमें रिश्ता दिया जाता है $R$ के बीच $\mathbb{N}$ तथा $\mathbb{N}$: $$ R\colon \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\colon n \mapsto n^3- 3n^2 - n $$ और हमें पूछा जाता है: है $R$ एक नक्शा, आक्षेप, इंजेक्शन या आक्षेप?

सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि हर प्राकृतिक संख्या नहीं $n$ एक संबंधित मानचित्रण है, उदाहरण के लिए 1 से -3 तक, जो है $\notin \mathbb{N}$, इसी तरह 2 के लिए (जो -6 में मैप होगा) और 3 (-2 में मैप होगा)। निष्कर्ष में: स्रोत में प्रत्येक तत्व सेट नहीं है$\mathbb{N}$ एक संबद्ध लक्ष्य तत्व है, और लक्ष्य सेट में प्रत्येक तत्व भी नहीं है $\mathbb{N}$ एक संबंधित स्रोत तत्व है।

यह बायजेन्स और सर्जन को नियंत्रित करता है। यह एक इंजेक्शन होना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक लक्ष्य तत्व में एक अद्वितीय स्रोत तत्व होता है। मेरे सहकर्मी ऐसा सोचते हैं$R$एक नक्शा और एक इंजेक्शन दोनों है, क्योंकि "सभी इंजेक्शन नक्शे हैं"। हालांकि, मेरा मानना ​​है कि$R$नक्शा नहीं है, क्योंकि स्रोत सेट के प्रत्येक तत्व में लक्ष्य तत्व नहीं है। इंटरनेट पर विभिन्न स्रोत (और पुस्तकें) मानचित्र और इंजेक्शन को डोमेन के लिए प्रतिबंधित होने के रूप में परिभाषित करते हैं$R$जिस स्थिति में मेरा सहकर्मी सही है कि इंजेक्शन नक्शे हैं।

हम फंसे हुए हैं। हम में से कौन सही है?

EDIT हम असतत गणित पर एक पाठ्यक्रम से (गैर-मानक?) परिभाषाओं का अनुसरण कर रहे हैं, जो इस प्रकार हैं:

• दो सेटों के बीच एक संबंध को मैपिंग कहा जाता है यदि हर तत्व से बिल्कुल एक तीर निकलता है।
• एक संबंध को एक इंजेक्शन कहा जाता है यदि प्रत्येक तत्व से अधिकांश एक तीर से निकलता है और प्रत्येक तत्व में अधिकांश एक तीर से आता है।

Answer 1

सेट के बीच एक (बाइनरी) संबंध $X$ तथा $Y$ कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के अलावा और कुछ नहीं है $X × Y$। आपके प्रश्न में हमारे पास है$R \subset \mathbb N \times \mathbb N$। मेरी राय में इसे रूप लिखना भ्रामक है$n \mapsto n^3- 3n^2 - n $, मैं लिखना पसंद करूंगा $$R = \{ (n,m) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m = n^3- 3n^2 - n \} .$$

मेरा सुझाव है कि इस पर एक नज़र डालें https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation।

1. $R$ कोई फ़ंक्शन नहीं है $\mathbb N \to \mathbb N$। जैसा कि आपने दिखाया है, के लिए$n = 1, 2,3$ हमारे पास नहीं ह $m \in \mathbb N$ ऐसा है कि $(n,m) \in R$। हालाँकि, हम मान सकते हैं कि यह एक आंशिक कार्य है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक के लिए$n \in \mathbb N$ हमारे पास सबसे अधिक है $m \in \mathbb N$ ऐसा है कि $(n,m) \in R$। प्रतिबन्ध$\mathbb N \setminus \{1, 2, 3\} \to \mathbb N$ एक समारोह है।

2. $R$एक इंजेक्शन संबंध है। इसका मतलब है कि अगर$(n, m) \in R$ तथा $(n', m) \in R$, फिर $n = n'$। वास्तव में, फ़ंक्शन पर विचार करें$\phi : \mathbb R \to \mathbb R,\phi(x ) = x^3 -3x^2-x$। इसकी व्युत्पत्ति है$\phi'(x) = 3x^2 - 6x -1$ के लिए सकारात्मक है $x > \xi = 1 + \sqrt{4/3}$, इस प्रकार $\phi$ सख्ती से बढ़ रहा है $(\xi,\infty)$। जबसे$ 4 > \xi$, हमें इंजेक्शन मिलता है।

3. $R$ एक विशेषण संबंध नहीं है जिसका अर्थ है कि वहां मौजूद है $m \in \mathbb N$ ऐसे सभी के लिए $n \in \mathbb N$ हमारे पास है $(n,m) \notin R$। वास्तव में, हमारे पास है$\phi(4)= 12, \phi(5) = 45$। जबसे$\phi$ सख्ती से बढ़ रहा है $(\xi,\infty)$, हम ले सकते हैं $m = 13$।

Answer 2

मैं कहूंगा कि यह एक (अच्छी तरह से परिभाषित नहीं) नक्शा है $\mathbb{N}$ सेवा $\mathbb{N}$ (चूंकि यह इनपुट्स लेता है $\mathbb{N}$ और लक्ष्य स्थान में आउटपुट $\mathbb{N}$)। यह एक इंजेक्शन नहीं है क्योंकि यह अच्छी तरह से परिभाषित भी नहीं है।

लेकिन यह एक अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्र है $\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$ सेवा $\mathbb{N}$वास्तव में यह एक इंजेक्शन है

Answer 3

परिभाषा में आप अपने पोस्ट के अंत में देते हैं कि हमारे पास प्रत्येक इंजेक्टिव फंक्शन एक इंजेक्टिव रिलेशन है लेकिन हर इंजेक्टिव रिलेशन एक इंजेक्टिव फंक्शन नहीं है (यहाँ पर इंजेक्टिव फंक्शन का मतलब रिलेशन जो फंक्शन और इंजेक्टिव रिलेशन है)।

उदाहरण के लिए, चलो $A=\{a,b,c\}$, $B=\{b,c\}$ तथा $R=\{(b,b),(c,c)\}\subset A\times B$ फिर $R$ से एक फ़ंक्शन नहीं है $A$ सेवा $B$ जैसा कि कोई तीर नहीं है $a$ (मानचित्रण की आपकी परिभाषा की आवश्यकता यह होगी कि वहाँ से एक तीर प्रस्थान होता है $a$)।

दूसरी ओर, के हर तत्व से $A$ सबसे अधिक एक तीर से प्रस्थान होता है (शब्द "सबसे अधिक" यह बताता है कि कोई भी तीर छूटने की अनुमति नहीं है) और साथ ही एक तीर से प्रत्येक तत्व पर आता है $B$ निर्माण $R$ एक इंजेक्शन का संबंध।

सारांश: इंजेक्शन (संबंधों के संदर्भ में) हमेशा मैपिंग नहीं होते हैं।