निरंतर कार्य की एक संपत्ति
चलो $f(x)$ पर एक सतत कार्य हो $\mathbb{R}$। चलो$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ वास्तविक संख्याओं का एक क्रम हो $a_{n}\leq a_{n+1}$ सबके लिए $n\geq 1$।
समस्या : क्या हम एक खोज सकते हैं $\alpha>0$ ऐसा है कि :
सबके लिए $n\geq 1$ वहां मौजूद $b_{n}\in(a_{n},a_{n+1})$ संपत्ति के साथ $$\alpha\; f(b_{n}) (b_{n}-a_{n})\leq f(a_{n})$$
मेरा विचार: अगर $f$ पर घट रहा है $\mathbb{R}$ तो हम बस लेते हैं $\alpha=1$, लेकिन एक सामान्य मामले के बारे में क्या $f$ कुछ अंतराल पर बढ़ रही है और दूसरों पर घट रही है?
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जोड़ें: नीचे दिए गए पहले दो उत्तरों के अनुसार यह सामान्य रूप से सही नहीं हो सकता है। पर क्या अगर$f(x)>0$ सबके लिए $x\in\mathbb{R}$।
जवाब
सच नहीं। चलो$f(x)=\sin (\pi x)$ तथा $a_n=n$। फिर$f(a_n) =0$ तथा $\alpha f(b_n) (b_n-a_n) >0$ सबके लिए $b_n \in (a_n,a_{n+1})$ अगर $n$ सम है।
संशोधित प्रश्न का उत्तर दें। परिणाम इस मामले में सच है। कोई भी ले जाओ$\alpha>0$। $f(a_n) >0$ तथा $\alpha f(x) (x-a_n) \to 0$ जैसा $x$ तक घट जाती है $a_n$। इसलिए वहां मौजूद है$b_n \in (a_n,a_{n+1})$ इस तरह की असमानता पकड़ में आती है।
नहीं।
चलो $a_n=0$ सबके लिए $n$। हमारे पास वह है$b_n=0\implies b_n-a_n=0$। तो LHS हमेशा होता है$0$। लेना$f(x)=-1$निरंतर कार्य। हमारे पास है: $$0 \leq -1$$
अंतर्विरोध।