फर्क $x^x$ "सीधे"
मुझे पता है कि व्युत्पन्न है $x^x\log x+x^x$, लेकिन मुझे यह लघुगणक भेदभाव का उपयोग करके मिला। क्या लॉग या घातीय में लाए बिना यह 'सीधे' प्राप्त करना संभव है?
जवाब
मल्टीवार्जेबल कैलकुलस का उपयोग करके एक अच्छा ट्रिक है जो किसी भी तरह से अधिक प्राकृतिक है: यदि आप लिखते हैं $f(y, z) = y^z$ तथा $g(x) = (x, x)$ विकर्ण मानचित्र के लिए, तब $x^x = f(g(x))$। अब का अंतर$f$ एक बिंदु पर $(y, z)$ है $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ और के अंतर $g$ सिर्फ $(1,1)$, इसलिए श्रृंखला के नियम से व्युत्पन्न होता है $x^x$ है $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$।
मैं मान लूंगा कि आपके कहने का मतलब पहले सिद्धांतों से अलग है, बजाय उपयोग करने के$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$आपको मूल्यांकन करने की आवश्यकता है$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$
अगर $y$ तथा $z$ के कार्य हैं $x$, फिर एक फ़ंक्शन का कुल व्युत्पन्न $f(y,z)$ इसके संबंध में $x$ बराबरी $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ इस बहुविकल्पी पथरी तथ्य से, हम कई एक-चर पथरी विभेदन नियमों को प्राप्त कर सकते हैं:
- ले रहा $f(y,z) = yz$, हमारे पास है $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ तथा $\frac{\partial f}{\partial z} = y$, और इसलिए (*) उत्पाद नियम बन जाता है $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
- ले रहा $f(y,z) = \frac yz$, हमारे पास है $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ तथा $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$, और इसलिए (*) भागफल नियम बन जाता है $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
- अंत में, ले रहा है $f(y,z) = y^z$, हमारे पास है $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ तथा $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$, और इसलिए (*) बन जाता है $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ विशेष रूप से, सेटिंग $y=x$ तथा $z=x$, ताकि $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$, पैदावार $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$
कुल व्युत्पन्न का यह शोषण भी अभिव्यक्ति के व्युत्पत्ति के साथ मदद करता है $\int_a^x f(x,t)\,dt$, और यह समझाने में मदद करता है कि इन सभी अलग-अलग नियमों का आकार क्यों है "सभी कार्यों का दिखावा करते हैं लेकिन $x$ स्थिर हैं, एक समय में एक है, और वास्तविक व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए उन सभी दिखावा डेरिवेटिव को एक साथ जोड़ें "।
विचार करें,
$$f(x) = x^x$$
फिर,
$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$
अब, कोष्ठक में सबसे सही शब्द पर विचार करें,
$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$
तथा,
$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$
इसलिये,
$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$
परिभाषा के अनुसार जो व्युत्पन्न पहले क्रम भिन्नता है,
$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$
संदर्भ