प्रमाण: एक पूर्ण वर्ग नहीं

Question

चलो $y$पूर्णांक बनें। साबित करो

$$(2y-1)^2 -4$$

एक आदर्श वर्ग नहीं है।

मुझे यह प्रश्न असतत गणित की पुस्तक में मिला और प्रश्न को दो भागों में विभाजित करके हल करने का प्रयास किया गया:

$$y = 2k , y = 2k + 1$$

लेकिन वह मुझे कहीं नहीं मिला।

Answer 1

विरोधाभासी लेखन के लिए $(2y-1)^2-4=n^2$ कहाँ पे $n$एक पूर्णांक है। इसके तुल्य$$4=(2y-1-n)(2y-1+n).$$ दो कारकों के बीच अंतर है $2n$, यानी भी। केवल कारक के तरीके$4$ ऐसे कारकों के साथ जो संख्या से भिन्न होते हैं $(-2)\cdot(-2)$ तथा $2 \cdot 2$, दोनों मामले असंभव हैं क्योंकि वे स्पष्ट हैं $n=0$ तथा $(2y-1)^2=4$।

Answer 2

विषम वर्ग हैं $1 \pmod 4,$लेकिन यह उससे कहीं अधिक विशिष्ट है। अजीबोगरीब वर्ग हैं$1 \pmod 8.$ आप इसे चुकता करके कह सकते हैं कि, $1,3,5,7$ और विभाजित होने पर शेषफल ज्ञात करें $8$। विशेष रूप से, वर्ग कभी नहीं होते हैं$5 \pmod 8.$ तुम्हारी $(2y-1)^2 - 4 \equiv 5 \pmod 8$ और एक वर्ग नहीं हो सकता

Answer 3

मान लीजिए:

$$(2 y - 1)^2 - 4 = a^2$$

कुछ के लिए $a$।

फिर

$$(2 y - 1 + 2)(2 y - 1 - 2) = (2 y + 1)(2 y - 3) = a^2$$

क्या आप इसे यहाँ से ले जा सकते हैं?

प्रत्येक पक्ष के प्रमुख गुणन के बारे में सोचें।

Answer 4

के लिये $y\le-1$, $(2y-1)^2-4$ लगातार वर्गों के बीच है $(2y)^2$ तथा $(2y-1)^2$।

के लिये $y\in\{0,1\}$, $(2y-1)^2-4$ नकारात्मक है, इसलिए एक वर्ग नहीं है।

के लिये $y\ge2$, $(2y-1)^2-4$ लगातार वर्गों के बीच है $(2y-2)^2$ तथा $(2y-1)^2$।

Answer 5

$(2y-1)^2-4=4(y^2-y)-3$ यदि यह एक पूर्ण वर्ग होता तो यह होता $=c^2$, जहां c एक पूर्णांक है। के लिए हल$y$ में $4(y^2-y)-3-c^2=0$ और पाओ $y=\frac{4\pm \sqrt{16+16(3+c^2)}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{4+c^2}}{2}$।

तथापि $c^2+4$ जब तक एक वर्ग नहीं हो सकता $c=0$ (कहाँ पे $y$पूर्णांक नहीं है)। मान लीजिये$c^2+4=b^2$ इसलिए $b=c+a$ साथ में $(c+a)^2=c^2+2ac+a^2$। $2ac+a^2=4$पूर्णांक समाधान संभव नहीं है। ($a=1$ LHS विषम है, $a\gt 1$ एलएचएस $\gt 4$)।

इसलिए कोई पूर्णांक नहीं $y$।

Answer 6

$(2y-1)^2 - 4 = (2y-1)^2 - 2^2 = (2y-1+2)(2y-1-2) = (2y+1)(2y-3)$

ध्यान दें कि $2y+1$ तथा $2y-3$हमेशा अलग पूर्णांक होते हैं। इसलिए उनके उत्पाद को साबित करना एक वर्ग नहीं हो सकता है, यह दिखा कर पूरा किया जाता है कि वे कोप्राइम (सामान्य में कोई प्रमुख कारक) नहीं हैं और वे एक ही समय में दोनों वर्ग नहीं हैं।

$\mathrm{gcd}(2y+1, 2y-3) =\mathrm{gcd}(2y+1, (2y+1)-(2y-3)) = \mathrm{gcd}(2y+1, 4) = 1$(अंतिम भाग तुच्छ रूप से देख रहा है कि एक विषम है, दूसरा भी)। अत$2y+1$ तथा $2y-3$ मैथुन करना।

अब ध्यान दें कि दोनों $2y+1$ तथा $2y-3$ के अंतर के साथ विषम हैं $4$। दो विषम वर्गों के बीच न्यूनतम अंतर है$3^2 - 1^2 = 8$। इसलिए वे दोनों वर्ग नहीं हो सकते।

इसलिये $(2y+1)(2y-3) = (2y-1)^2 - 4$ एक वर्ग नहीं हो सकता।

Answer 7

एक और सबूत: WLOG मान $y>0$। दो लगातार संख्याओं के वर्ग के बीच के अंतर को देखें:$1, 3, 5, 7$, आदि .. इसलिए 4 का अंतर पाने का एकमात्र तरीका 2 ^ 0-0 = 1 + 3 है, जो कि असंभव है $2y-1$ अजीब है।

Answer 8

किसी भी दो वर्गों के बीच का अंतर $a^2$ तथा $b^2$ साथ में $a^2< b^2$ कम से कम 5 है अगर $|b|$ कम से कम 3 है।

तो आप सभी के साथ छोड़ दिया है के लिए सीधे जाँच करने के लिए है $(2y-1)^2 =0,1,4$। और जैसे$2y-1$ केवल विषम है $2y-1=1$।