रिंग के बारे में 2 सवाल $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$

Question

मैं रिंग थ्योरी में इस विशेष प्रश्न को हल करने में असमर्थ हूं। यह मास्टर्स परीक्षा में पूछा गया था जिसके लिए मैं तैयारी कर रहा हूं।

चलो $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ ।

(a) सिद्ध कीजिए कि $A$ दो अभिन्न डोमेन का प्रत्यक्ष उत्पाद है।

(b) वलय है $A$ आइसोमॉर्फिक को $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?

मैं द्वारा पता कर सकते हैं $X^{3}-1$ अब तत्व होंगे $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ से संबंधित $\mathbb{Q}$। लेकिन मेरे पास कोई सुराग नहीं है कि कौन से अभिन्न डोमेन इस रिंग को बनाएंगे।

इसके अलावा 2 के लिए मैं के रूप में एक नक्शा परिभाषित करने में समस्या हो रही है $X^3$2 रिंग में -1 के रूप में कार्य करेगा। मुझे नहीं लगता कि नक्शे की तरह$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ इस नक्शे के रूप में काम नहीं करेगा $1-1$।

तो, क्या कोई यह बता सकता है कि मुझे इन दोनों समस्याओं से कैसे निपटना चाहिए।

Answer 1

सुझाव :

(ए) चीनी अवशेष प्रमेय का उपयोग करें , जो कहता है कि एक अंगूठी के लिए$A$ और आदर्श $\mathfrak a,\mathfrak b$ का $A$ ऐसा है कि $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$। इसके अलावा, एक भागफल की अंगूठी$\mathbb Q[X]/(f(X))$ एक अभिन्न डोमेन iff है $(f(X))$ एक प्रमुख आदर्श iff है $f(X)$ (कब से है) $\mathbb Q[X]$ एक पीआईडी ​​है)।

(b) मेरा दावा है $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$एक समरूपता है। सभी स्वयंसिद्ध पकड़ की जाँच करें।

Answer 2

(ए) केंटा एस के बाद से कहा गया है $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ तथा $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, अपने पास $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ इसलिए $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$चीनी अवशेष प्रमेय द्वारा। स्पष्ट रूप से,$x^2-x+1$ तथा $x-1$बेमतलब है। इसलिये,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ तथा $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ डोमेन हैं।

(बी) स्पष्ट रूप से, $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$। इसके अलावा,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ द्वारा द्वारा $x\to -x$। इसलिये,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$।