$S_4$ Isomorphism [डुप्लिकेट]

Question

मैं वह दिखाने की कोशिश कर रहा हूं $S_4 \cong X \rtimes_{\varphi} S_3$ कहाँ पे $X= \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$। मुझे पता है कि आटोमोटिववाद का समूह$X$ से समरूप हैं $S_3$। मुझे यकीन नहीं है कि अगर ऐसा कुछ है जिसका मैं यहां उपयोग कर सकता हूं। किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

Answer 1

यह साबित करने के लिए हम यह दिखा सकते हैं $S_4$ दो उपसमूहों का एक आंतरिक अर्धचालक उत्पाद है।

पहले हमें एक उपसमूह खोजना होगा $N$ का $S_4$ यह सामान्य और आइसोमॉर्फिक से क्लेन है $4$समूह। इसे खोजने के लिए हमें ध्यान देना चाहिए कि इसमें केवल ऑर्डर के तत्व होने चाहिए$2$ या $1$ लेकिन इसमें ट्रांसपोज़िशन नहीं हो सकता (क्योंकि अगर इसमें एक ट्रांसपोज़िशन है तो उसमें ये सभी होने चाहिए और फिर यह पूरा समूह होना चाहिए)।

हम पाते हैं कि हमें जो सामान्य उपसमूह चाहिए वह है $\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$

अगली चीज़ जो हमें करनी चाहिए वह है एक उपसमूह $H$ का $S_4$ यह आइसोमॉर्फिक है $S_3$ ऐसा है कि $H\cap N = \{e\}$ तथा $G=NH$।

ऐसा करने के लिए हम सबसे स्पष्ट उम्मीदवार मानते हैं: क्रमपरिवर्तन जो ठीक करते हैं $1$, स्पष्ट रूप से प्रतिच्छेदन तुच्छ है क्योंकि कोई भी दोहरा चक्र केवल गति नहीं कर सकता है $3$तत्वों। देखने के लिए$S_4=NH$ हम प्रयोग करते हैं $|H_1 H_2| = |H_1||H_2|/|H_1\cap H_2|$।