सेट का क्रमांकन
मेरे पास सेट के क्रमांकन के बारे में एक सवाल है और यह है:
समस्या: नमूना स्थान दें$X$ के क्रमपरिवर्तन का सेट हो $\{1,2,3,4,5\}$, क्रमपरिवर्तन $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ जहाँ के लिए वस्तु आवंटन का प्रतिनिधित्व करता है $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ हमारे पास है $n_i=j$ अगर व्यक्ति $i$ व्यक्ति द्वारा वस्तु प्राप्त करता है $j$। और भी$i\in \{1,2,3,4,5\}$। यदि हम घटनाओं को परिभाषित करते हैं:
$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$
मेरा भ्रम: मुझे समझ में नहीं आता है कि इस सेट को तत्व विशेषताओं के निर्धारित सेट के तहत इन तत्वों को कैसे सूचीबद्ध किया जाए, उदाहरण के लिए, नमूना स्थान में$X$, कर सकते हैं $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$
यदि नहीं तो मान $n_1$, $n_2$, ... ले सकते हैं $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ आदि तो नमूना अंतरिक्ष का एक संभव तत्व है $(2,3,4,5,1)\in X?$।
लेकिन सेट में $A_i,$ अब एक नई स्थिति है जो है $n_i=i$, इसका मतलब है कि सेट $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$। की परिभाषा पर मैं भ्रमित हूँ$n_i=i$ सेट में $A_i,$ और कितने तत्व हैं $A_1, A_2,...,A_5$शामिल हैं। क्या कोई मुझे सेट के तत्वों को समझाने या खोजने में मदद कर सकता है$A_i$, या सिर्फ एक उदाहरण के लिए$ A_1$ तथा $A_2?$ मेरे द्वारा इसकी सराहना की जाएगी।
जवाब
एक सेट से स्वयं के लिए एक विशेषण फ़ंक्शन के रूप में एक क्रमचय की परिभाषा का उपयोग करना ( पात्रों के संबंधित परिभाषा की बजाय प्रत्येक चरित्र का एक बार उपयोग किया जा रहा है, आदि ... ) हमारे पास वह है$A_1$ के क्रमपरिवर्तन का सेट है $\{1,2,3,4,5\}$ ऐसा है कि $1$ को मैप किया जाता है $1$।
इसके बजाय, वर्णों के तारों के रूप में क्रमपरिवर्तन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $A_1$ के क्रमपरिवर्तन का सेट है $\{1,2,3,4,5\}$ ऐसा है कि $1$ पहली स्थिति में है।
इसमें शामिल है लेकिन सीमित नहीं है $12345, 13524, 15243,\dots$ और जैसी चीजें शामिल नहीं हैं $23451$ या $54321$ जबसे $1$ पहली स्थिति में नहीं है और आगे जैसी चीजें शामिल नहीं हैं $11111$ या $67890$ चूंकि ये परमीशन नहीं हैं $\{1,2,3,4,5\}$( पहला वर्ण एक क्रमांकन होने में विफल रहता है क्योंकि प्रत्येक वर्ण को केवल एक बार उपयोग करने की अनुमति है और दूसरा विफल है क्योंकि उपयोग किए गए अक्षर सही आधार सेट से नहीं हैं। समान रूप से, पहला विशेषण नहीं था और दूसरा गलत कोडोमैन नहीं था। )।
इसके बारे में बात करने लायक है जैसे कि चीजें $A_1\cap A_2$वे कौन से क्रमपरिवर्तन हैं जो एक साथ पहले और दूसरे शब्दों में नियत बिंदुओं के रूप में हैं ... जिनमें चीजें शामिल हैं$12345, 12543, 12453,\dots$, पहली स्थिति जरूरी है $1$ और दूसरी स्थिति जरूरी है $2$।
यह भी देखने लायक है $A_1^c$इस तरह के क्रमपरिवर्तन का सेट $1$है न एक निश्चित बिंदु।
अंत में, काफी महत्व सेट है $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$पर क्रमपरिवर्तन का सेट $\{1,2,3,4,5\}$ऐसा कोई भी तत्व निश्चित बिंदु नहीं है। हम क्रमचय को बिना किसी नियत अंक के विच्छेद कहते हैं ।
इनकी गिनती के लिए, के रूप में $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$हमेशा की तरह उत्पाद के नियम के साथ सीधे संपर्क करें। उन पदों के लिए जिनके मूल्यों को मजबूर नहीं किया जाता है, उस स्थिति में कौन सा तत्व दिखाई देता है और इस बात पर ध्यान दें कि आपने पहले ऐसे चयन कितने विकल्प दिए थे। वह तुम ले लो$|A_1|=4!$ उस $|A_1\cap A_2|=3!$ और इसी तरह।
समावेशन-बहिष्करण के साथ युग्मित ये अवलोकन तब भी आपको अपमान की संख्या की गणना करने की अनुमति देंगे, कुछ मैं अपने आप को समाप्त करने के लिए या लिंक किए गए लेख में पढ़ने के लिए आपको छोड़ देता हूं। बल्कि मुझे दृढ़ता से संदेह है कि अपमान की संख्या की गणना करना वर्तमान प्रश्न का एक बाद का हिस्सा हो सकता है जिस पर आप काम कर रहे हैं या एक प्रश्न को बहुत जल्द पूरा करने के बाद पूछा जा सकता है क्योंकि वे इतने निकट से संबंधित हैं।
नहीं, ध्यान दें $i$सेट के लक्षण वर्णन के बाहर परिभाषित किया गया है। जिसका अर्थ है कि$i$प्रत्येक सेट के लिए तय किया गया है। इसलिए$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$ इसके अलावा, ध्यान दें कि ट्यूपल अंदर होना है $X,$ तथा $(1,1,1,1,1)$क्रमचय नहीं है।
यह स्पष्ट नहीं है कि यदि क्रमचय से आपका मतलब है कि आपको हर तत्व का उपयोग करना है$\{1,2,3,4,5\}.$ यदि हां, तो आपको मिलेगा $(5-1)!$ तत्वों की संख्या के रूप में $A_1$ क्योंकि आप पहले एक को ठीक कर रहे हैं और फिर आपके पास है $4$ दूसरे के लिए विकल्प, और फिर $3$विकल्प ...
यदि आप दोहराव की अनुमति देते हैं, तो आपके पास होगा$5$ शेष में से प्रत्येक में विकल्प $4$ स्थिति, इसलिए आप समाप्त कर देंगे $5^4$ तत्वों में $A_1.$