सेट के बारे में प्रश्न (संभावना सिद्धांत में रिंग्स)

Question

लश्कर $\Omega$ हमारे नमूना स्थान के रूप में, हम एक अंगूठी के रूप में परिभाषित करते हैं $R\subset P(\Omega)$ सत्यापन: $R\neq\emptyset$, $R$ परिमित चौराहों के नीचे बंद है, और सममित अंतर के तहत बंद है।

साबित करो $R$ एक रिंग इफ है $R$ परिमित चौराहों, परिमित यूनियनों और के तहत बंद है $\emptyset\in R$

मेरी कोशिश:

$\Rightarrow$

हमें बस वह दिखाने की जरूरत है $\emptyset\in R$ तथा $R$ परिमित यूनियनों के तहत बंद है।

लश्कर $A\in R$ फिर $A\triangle A=\emptyset\in R$

फिर $A\cup B = A\triangle (B\backslash A)\in R$

$\Leftarrow$

मैं इस निहितार्थ से जूझ रहा हूं

(मुझे पता है अगर पोस्ट शीर्षक मेरी समस्या फिट बैठता है)

Answer 1

यह सामान्य तौर पर सच नहीं है। लश्कर$\Omega=\{1,2,3\}$, $R=\{\emptyset,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$। तब आप उसे देख सकते हैं$R$ परिमित संघ और परिमित चौराहे के नीचे बंद है, और वह $\emptyset\in R$।

$R$ हालांकि, सममित अंतर के तहत बंद नहीं किया गया है: $\{1,2\}\triangle\{2,3\}=\{1,3\}\notin R$। तो उल्टा निहितार्थ पकड़ में नहीं आता।

इसके बजाय, साबित करने की कोशिश करें "$R$ एक अंगूठी है अगर और केवल अगर $R$ को परिमित संघ के तहत बंद कर दिया जाता है और सापेक्ष पूरक ($A\backslash B$), तथा $R\neq\emptyset$”।