सिद्ध करें: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$
वर्तमान में मैं सूत्र के माध्यम से जा रहा था
$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$
जो निश्चित रूप से हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का संलग्न रूप है । लेकिन मुझे यह सूत्र भी मिलता है
$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$
मुझे लगता है कि यह हाइजेनबर्ग के सिद्धांत का विस्तार है, लेकिन मुझे किताब में ऐसा नोट नहीं मिला। इसके अलावा, मुझे लगता है कि यह शायद डी ब्रोगली की परिकल्पना से आया है और कुछ कैलकुलस हो सकता है लेकिन यह सिर्फ एक अनुमान है। इसलिए इन कारणों से मैं आपसे एक उत्तर की कामना कर रहा हूं और इसके अलावा इस सूत्र की कुछ भौतिक व्याख्या करना भी बेहतर होगा , जैसे कि हम हाइजेनबर्ग के सिद्धांत के लिए हैं ।
जवाब
दो अनियंत्रित ऑपरेटरों के लिए सामान्य अनिश्चितता सिद्धांत से शुरू$\Omega$ तथा $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ कहां है $|\psi\rangle$ एक मनमाना राज्य है और $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, कम्यूटेटर। हम डी ब्रोगली से जानते हैं कि$\lambda=\frac{h}{p}$; इसमें से, हम Possion ब्रैकेट की गणना करते हैं$x$ तथा $\lambda$ जैसा $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ अब, डायराक के परिमाणीकरण के लिए लोकप्रिय नियम (कई मामलों में काम करता है) यह कहना है $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ तो हमारे पास $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$। इसे मूल सामान्य अनिश्चितता सिद्धांत में प्लग करना,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ और इस तरह $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ अब, मानक विचलन की परिभाषा से, हम जानते हैं कि $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, तो हमारे पास $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$क्योंकि मानक विचलन सकारात्मक निश्चित है। इस प्रकार, की अपेक्षा मूल्य को दर्शाते हुए$\Lambda$ जैसा $\lambda$, हम अंत में है $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$यह अनिश्चितता प्रधान सामान्य स्थिति-गति से भिन्न है; अनिश्चितताओं के उत्पाद के बजाय हमेशा एक स्थिर से अधिक होने के कारण, स्थिति और तरंग दैर्ध्य के मानक विचलन का उत्पाद विभाजित तरंग दैर्ध्य के औसत मूल्य से अधिक या बराबर होता है$4\pi$। इस प्रकार, यह स्थिति और तरंग दैर्ध्य में अनिश्चितताओं को तरंग दैर्ध्य के औसत मूल्य से संबंधित करता है।