स्मृति के साथ एक उलटा प्रणाली

Question

मान लीजिए $\mathcal{L}$स्मृति के साथ उलटा प्रणाली हो। कर देता है$\mathcal{L}^{-1}$ स्मृति जरूरी है?

सहज रूप से मुझे लगता है कि उत्तर "हाँ" है। ऐसे कई उदाहरण हैं जो दिखाते हैं। उदाहरण के लिए$\mathcal{L}(x(t)) = x(t-2)$ तथा $\mathcal{L}(x(t)) = x(\frac t 3)$। एक और उदाहरण जो मुझे समस्याग्रस्त लगता है$$\mathcal{L}(x(t)) = \int_{-\infty}^{t}x(\lambda)d\lambda$$उलटा है $$\mathcal{L}^{-1}(x(t)) = \frac{dx(t)}{dt}$$क्या विभेदक में स्मृति होती है? बेशक मुख्य सवाल यहाँ एक उल्टे सिस्टम की मेमोरी के बारे में है जिसमें मेमोरी है। यहां ध्यान दें$\mathcal{L}$ के रूप में अच्छी तरह से nonlinear हो सकता है।

स्पष्टता के लिए, मैं ओपेनहेम की पुस्तक से कुछ संबंधित परिभाषाएँ जोड़ता हूं:

इन्वर्टिबल सिस्टम: एक सिस्टम को इन्वर्टिबल कहा जाता है यदि अलग-अलग इनपुट अलग-अलग आउटपुट को लीड करते हैं।

कारण प्रणाली: एक प्रणाली कारण है अगर किसी भी समय आउटपुट वर्तमान समय और अतीत में इनपुट के मूल्यों पर निर्भर करता है।

मेमोरीलेस सिस्टम: एक सिस्टम को मेमोरीलेस कहा जाता है यदि किसी निश्चित समय में स्वतंत्र चर के प्रत्येक मूल्य के लिए उसका आउटपुट केवल उसी समय के इनपुट पर निर्भर होता है।

Answer 1

समय-आधारित प्रणालियों के लिए, मैं समझता हूं कि भविष्य की स्मृति की कल्पना करना मुश्किल है। लेकिन सामान्य प्रणालियों के लिए,$-t$ तथा $t$बस बाएं और दाएं हैं (स्थानिक प्रणाली के बारे में सोचें)। अन्य चर्चाएँ एलटीआई प्रणाली में हैं$y(t)=x(t−T)$मेमोरी के साथ या उसके बिना , मेमोरी कम सिस्टम क्या है? , या उस समय की अवधारणा के बारे में एक प्रश्न ।

इन्वर्टिबिलिटी की परिभाषा से, $\mathcal{L}^{-1}$ इस प्रकार कि $\mathcal{L}^{-1}( \mathcal{L}(x))=x$। लेकिन वह भी$\mathcal{L}( \mathcal{L}^{-1}(x))=x$(वैसे, डेरिवेटिव और इंटीग्रल्स विपरीत नहीं हैं)। आइए हम मान लेते हैं:$ \mathcal{L}^{-1}$स्मृति नहीं है। इसलिये$\mathcal{L}^{-1}(x[n]))$ केवल वर्तमान स्थिति का उपयोग कर सकते हैं, और $\mathcal{L}$ साथ ही उपज देने के लिए $(x[n])$।

तो अगर $\mathcal{L}^{-1}$ स्मृतिहीन है, $\mathcal{L}$के रूप में अच्छी तरह से स्मृतिहीन है। विरोधाभास द्वारा, अभिसरण सत्य है