उत्पाद समरूपता

Question

चलो $(G,+)$ तथा $(H,\star)$ समूह बनें (क्रमशः विख्यात संबंधों के साथ) $+$ तथा $\star$) का है। चलो$f$ तथा $g$ समूह समरूपताएं हों $f,g:G \to H$।

दावा: यदि $H$ अबेलियन है, तो उत्पाद का नक्शा $f \cdot g,\,x \mapsto f(x) \star g(x)$ एक समरूपता भी है।

मैं यह साबित करने में सक्षम था, लेकिन अब सोच रहा हूं कि कब के लिए एक ठोस लेकिन सरल जवाबी कार्रवाई मौजूद है $H$ एबेलियन नहीं है ... (इसके अतिरिक्त या समान के तहत पूर्ण संख्या के साथ ...)

Answer 1

ठीक है, आप बाईं गुणा पर विचार कर सकते हैं $\ell_\pi:S_n\rightarrow S_n:\sigma\mapsto\pi\sigma$ साथ दिया गया $\pi\in S_n$, कहां है $S_n$ सममित समूह है $n$ स्थानों।

बाईं गुणा का सेट $L(S_n)$ फ़ंक्शन संरचना के तहत एक समूह बनाता है, क्योंकि $\ell_\pi\ell_\sigma=\ell_{\pi\sigma}$, $(\ell_\pi)^{-1} = \ell_{\pi^{-1}}$ तथा $\ell_e= id$ पहचान मानचित्रण है, जहां $e$ पहचान की अनुमति है।

मैपिंग पर विचार करें $F:S_n \rightarrow L(S_n):\pi\mapsto \ell_\pi$, जो एक समरूपता है, तब से $F(\pi\sigma) =\ell_{\pi\sigma} = \ell_\pi\ell_\sigma = F(\pi)F(\sigma)$।