वर्चस्व की परिभाषा
मैं वास्तविक विश्लेषण में स्नातक ग्रंथों पर किए गए एक अवलोकन से हैरान हूं। वर्चस्व और असीम की अवधारणाएं उन छात्रों के लिए विशेष रूप से आसान नहीं हैं जो विषय के लिए नए हैं, और निश्चित रूप से उनके लिए एक सेट के अधिकतम और न्यूनतम को समझना बहुत आसान है (इस तथ्य सहित कि वे मौजूद नहीं हैं) और ऊपरी सीमा के। सभी को करना है जैसे कि अंतराल को इंगित करना$[0,2]$ तथा $[0,2)$ और संख्या 2 और संख्या 3 के बारे में बात करें। तो एक सेट के कम से कम ऊपरी हिस्से को क्यों नहीं परिभाषित करें $S$ (एक आदेशित क्षेत्र में) के लिए सभी ऊपरी सीमा के सेट के न्यूनतम (यह मौजूद है) के रूप में $S$?
मैंने वास्तविक विश्लेषण के लिए बड़ी संख्या में स्नातक ग्रंथों की जांच की है, और मुझे यह सरल परिभाषा या "न्यूनतम" शब्द भी कभी नहीं मिला है। उनमें से अधिकांश इसे बहुत अधिक कठिन तरीके का उपयोग करके परिभाषित करेंगे "यह एक ऊपरी बाध्य है, और किसी भी संख्या के लिए कड़ाई से कम होने पर, कुछ आदि होंगे"। कुछ कहेंगे: यह एक ऊपरी सीमा है$M$ ऐसा है कि अगर $x$ एक ऊपरी सीमा है, फिर $M\leq x$। फिर से, क्यों नहीं कहा गया, "यह सभी ऊपरी सीमा के सेट का न्यूनतम है"? कुछ लोग कहेंगे "यह सबसे कम ऊपरी सीमा है" लेकिन यहां तक कि यह भाषा का एक परिवर्तन है, न्यूनतम से कम से कम, और किसी भी मामले में वे "कम से कम ऊपरी बाध्य" का उपयोग केवल अवधारणा के लिए नाम के रूप में करते हैं, फिर इसे परिभाषित करने के लिए चल रहे हैं। जटिल तरीके का उपयोग करना।
मैं इसे चर्चा के विषय के रूप में पोस्ट करने का मतलब नहीं है, केवल इस बात पर एक वास्तविक प्रश्न के रूप में कि क्या मुझे कुछ महत्वपूर्ण याद आ रहा है जो यह बताएगा कि उस तरह से वर्चस्व को परिभाषित करने के लिए एक अच्छा विचार क्यों है।
जवाब
मुझे नहीं लगता कि यह कहने में कोई अंतर है कि यह "यह सबसे कम ऊपरी सीमा है" या यह कहते हुए कि यह "सभी ऊपरी सीमाओं के सेट का न्यूनतम है"।
लश्कर $S$ एक सेट और जाने दो $M$सभी ऊपरी सीमा का सेट हो। फिर हमारे पास दो संभावित मामले हैं:$\exists \max S$ या $\nexists \max S$:
$\exists \max S$:
अगर $\exists \max S$, तो इसका मतलब है कि $\forall s \in S, s \leq \max S$, तो इसका मतलब है कि $\max S \in M$।
अब, मान लेते हैं कि $\max S$ की न्यूनतम नहीं है $M$। इस का मतलब है कि:$\exists m \in M: m < \max S$। फिर,$\forall x \in S, x \leq m$, चूंकि $m$एक ऊपरी सीमा भी है। परंतु$\max S \in S$, तो यह मेनस कि $\max S \leq m$। की परिभाषित संपत्ति$m$ था: $m \in M: m < \max S$। तो यह एक विरोधाभास है। इस का मतलब है कि$\max S$ वास्तव में न्यूनतम है $M$ और इस तरह $\sup S = \min M = \max S$।
$\nexists \max S$:
अब मान लेते हैं कि $\nexists \max S$। लश्कर$M$ सभी ऊपरी सीमा का सेट हो।
चलो मान लेते हैं $\nexists \min M$। इस का मतलब है कि$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$। इसका मतलब यह होगा कि अगर$a_1 \in M$, फिर $\forall s \in S$: $s \leq a_1$। लेकिन क्योंकि$a_1$ तब न्यूनतम नहीं होता है $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$। इसका मतलब है कि हम मनमाने ढंग से करीब आ सकते हैं जैसा हम चाहते हैं$s$। तब इसका मतलब है कि हम एक अनुक्रम पा सकते हैं$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ ऐसा है कि $\lim _n a_n = s$।
अब छोडो $s_1, s_2 \in S$ ऐसा है कि $s_1 < s_2$। फिर हम एक क्रम पा सकते हैं$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ ऐसा है कि $\lim _n a_n = s_1$। लेकिन क्योंकि हम मनमाने ढंग से पास हो सकते हैं$s_1$, इस का मतलब है कि $\exists k \in \Bbb N:$ अगर $n \geq k$ फिर $s_1 < a_n < s_2$। यह एक विरोधाभास है, जैसा कि$a_n \in M$एक ऊपरी सीमा है। इस का मतलब है कि$\exists \min M$।
तो यह निष्कर्ष निकालो $\sup S = \min M$ भले ही $\nexists \max S$।
इसलिए, हर सेट के लिए $S$, $\sup S = \min M$। ऐसा दिखाने के लिए आप एक समान तर्क कर सकते हैं$\inf S = \max M$