विघटन से कंडीशनिंग तक

Question

जेटी चांग और डी। पोलार्ड द्वारा एक कागज "कंडीशनिंग विघटन के रूप में" है , जो विघटन से नियमित सशर्त संभावना का निर्माण करता है । विशेष रूप से, उस पेपर में डेफिनिशन 1, प्रमेय 1 और प्रमेय 2 (iii) से, हम एक प्रमेय को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

प्रमेय। चलो$\Omega$ पोलिश स्थान हो, $\mathcal F = \mathcal B(\Omega)$ बोरेल हो $\sigma$-फ़ील्ड के लिए $\Omega$, तथा $\mathbf P$ पर एक संभावना उपाय हो $(\Omega,\mathcal F)$। चलो$(E,\mathcal E)$ के साथ एक औसत दर्जे का स्थान हो $\mathcal E$सभी सिंग्लटन सेटों को समान रूप से उत्पन्न और युक्त किया गया है। चलो$X:(\Omega,\mathcal F) \to (E,\mathcal E)$एक यादृच्छिक तत्व हो। द्वारा निरूपित करें$P_X := X_*\mathbf P = \mathbf P\circ X^{-1}$ के पुख्ता उपाय $X$ पर $(E,\mathcal E)$। फिर एक परिवार है$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ पर संभावना के उपाय $(\Omega,\mathcal F)$, ऐसा है कि:

• हर एक के लिए $x\in E$, संभावना उपाय $\mathbf P^x$ घटना पर ध्यान केंद्रित करता है $\{X = x\}$।
• सबके लिए $A\in\mathcal F$मानचित्रण $\mathbf P^\cdot(A): (E,\mathcal E)\to [0,1]$ औसत दर्जे का है।
• सबके लिए $A\in\mathcal F$ तथा $B\in\mathcal E$, \ _ {समीकरण} \ mathbf P \ left (A \ cap X ^ {- 1} (B) \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ x (A) P_X (dx) शुरू करें। \ end {समीकरण} इसके अलावा, परिवार$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ विशिष्ट रूप से लगभग निश्चित समतुल्यता के लिए निर्धारित है: यदि $\{\mathbf Q^x\}_{x\in E}$ पर संभावना का एक और परिवार है $(\Omega,\mathcal F)$उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है, तो \ _ {समीकरण *} P_X \ {x \ "E: \ mathbf P ^ x \ ne \ mathbf Q ^ x \} = 0. \ अंत {समीकरण *} में शुरू होता है।

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यहाँ समस्या है ।

उस विशेष मामले पर विचार करें $E=\Omega$ तथा $\mathcal E$ एक उप है-$\sigma$-का क्षेत्र $\mathcal F$जिसमें सभी एकल शामिल हैं। जबसे$\Omega$ दूसरी गणना योग्य है, इसका बोरेल $\sigma$-मैदान $\mathcal F$सभी जनरेट किया जाना चाहिए और सभी एकल शामिल हैं । उप के रूप में-$\sigma$-का क्षेत्र $\mathcal F$, $\mathcal E$भी जनरेट किया गया है। चलो$X = \mathrm{Id}$। फिर$P_\mathrm{Id} = \mathbf P$ तथा $\sigma(\mathrm{Id}) = \mathcal E$। अब प्रमेय में सभी धारणाएं पूरी हो गई हैं। इसलिए, हम ए$\mathbf P$-सुविधा का अनोखा परिवार उपाय $\{\mathbf P^\omega\}_{\omega\in\Omega}$ पर $(\Omega,\mathcal F)$ संतोषजनक:

1. हर एक के लिए $\omega\in\Omega$, संभावना उपाय $\mathbf P^\omega$ सिंगलटन पर ध्यान केंद्रित करता है $\{\omega\}$।
2. सबके लिए $A\in\mathcal F$मानचित्रण $\mathbf P^\cdot(A): (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ औसत दर्जे का है।
3. सबके लिए $A\in\mathcal F$ तथा $B\in\mathcal E$, \ {{समीकरण} \ mathbf P \ left (A \ cap B \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ \ omega (A) \ mathbf P (dx) शुरू करें। \ अंत {} समीकरण

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कथन 2 और 3 पूरी तरह से सशर्त संभाव्यता के सूत्रीकरण के समान हैं , अर्थात$\mathbf P^\omega(A) = \mathbf P(A\mid \mathcal E)(\omega)$। हालांकि, अगर हम उन्हें 1 कथन के साथ जोड़ते हैं, तो कुछ काफी अजीब हैं। वास्तव में, जब से$\mathbf P^\omega$ पर ध्यान केंद्रित करता है $\{\omega\}$, हमारे पास है $\mathbf P^\omega(A) = \mathrm{1}_A(\omega)$ सबके लिए $A\in\mathcal F$, जबकि यह केवल के लिए होना चाहिए $A\in\mathcal E$ जबसे $\mathbf P^\omega$ 3. कथन द्वारा सशर्त संभावना है। इसके अलावा, मानचित्रण $\mathbf P^\cdot(A) = \mathrm{1}_A: (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ केवल के लिए औसत दर्जे का है $A\in\mathcal E$, लेकिन सभी के लिए नहीं $A\in\mathcal F$ कथन 2 में दावा किया गया है।

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तो यह कहां गलत है? किसी भी टिप्पणी या संकेत की सराहना की जाएगी। TIA ...

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संपादित करें: यहाँ कुछ और टिप्पणियां हैं:

1. मैंने सिर्फ दावा किया है कि "उप के रूप में$\sigma$-का क्षेत्र $\mathcal F$, $\mathcal E$यह भी स्पष्ट रूप से उत्पन्न होता है "। यह गलत है। उदाहरण के लिए, यहां एक प्रतिसाद के लिए देखें ।
2. @Aduh द्वारा टिप्पणी के लिए धन्यवाद, समस्या कम हो जाती है कि क्या होना चाहिए $\mathcal E = \mathcal F$? या वहाँ एक उचित उप मौजूद है-$\sigma$-का क्षेत्र $\mathcal F$यह स्पष्ट रूप से उत्पन्न होता है और इसमें सभी सिंगललेट होते हैं। मैं इसे Math.SE में एक और प्रश्न के रूप में पोस्ट करता हूं ।

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निष्कर्ष: मेरी मान्यताओं के तहत,$\mathcal E$ के साथ मेल खाना चाहिए $\mathcal F$। तो समस्या तुच्छ है। मैंने विवरण के लिए "एक और प्रश्न" में @GEdgar द्वारा दिए गए स्वीकृत उत्तर को देखें।

Answer 1

मैं यहां अखंडता के लिए एक उत्तर देता हूं।

जैसा कि प्रश्न के अंत में निष्कर्ष भाग में कहा गया है , हम साबित कर सकते हैं$\mathcal E = \mathcal F$@GEdgar की तर्ज पर । अधिक सटीक रूप से, हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर सकते हैं:

प्रमेय। चलो$\Omega$ पोलिश स्थान हो, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ बोरेल हो $\sigma$-फ़ील्ड के लिए $\Omega$। अगर$\mathcal E\subset \mathcal F$ एक उप-निर्मित उप-है$\sigma$-फिलहाल सभी सिंगलटन सेट, फिर $\mathcal E = \mathcal F$।

प्रमेय तब तक तुच्छ है जब तक हम निम्नलिखित लेम्मा को जानते हैं, जो डी। ब्लैकवेल "ऑन ए क्लास ऑफ़ प्रोबेबिलिटी स्पेस" के पेपर में थ्योरम 3 और थ्योरम 1 से अनुकूलित है , साथ ही दो तथ्य जो एक पोलिश स्थान विश्लेषणात्मक है स्वयं और पोलिश अंतरिक्ष में परमाणु एकल के अलावा और कुछ नहीं हैं।

लेम्मा। चलो$\Omega$ पोलिश स्थान हो, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ बोरेल हो $\sigma$-फ़ील्ड के लिए $\Omega$। अगर$\mathcal E\subset \mathcal F$ एक उप-निर्मित उप-है$\sigma$-फील्ड, फिर एक सेट $A\in\mathcal F$ का है $\mathcal E$ यदि और केवल यदि $A$ सिंगलेट्स का एक संघ है।