वो दिखाओ $\det(A) = 0$ या $\mathrm{tr}(A)=0$

Question

लश्कर $A$ तथा $B$ में दो मैट्रेस हैं $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ साथ में $B\neq0$ तथा $AB=-BA$। वह भी दिखाओ$\mathrm{tr}(A) = 0$ या $\det(A)=0$।

मैं आदेश के बाद से अटका हुआ हूं। कुछ प्रयास हैं

1. परिकल्पना से हम यह कहते हैं $\mathrm{tr}(AB) = 0$, इस प्रकार $(AB)^2=(\det AB)(AB)$। लेना$\det$ दोनों पक्षों की ओर से $\det AB = 0$ या $\det AB = 1$। जो कोई बात नहीं है।

2. मान लीजिए $\det A \neq 0$, फिर दोनों तरफ से गुणा करें $A^{-1}$ हमारे पास बाईं ओर है $B=A^{-1}(-B)A$। इसका अर्थ यह है कि$\mathrm{tr}B= 0$। लेकिन मैं अभी भी बाद में अटक गया हूँ।

अग्रिम में धन्यवाद!

Answer 1

पहला सबूत :

आपके पास $AB=-BA$ इसलिए गुणा करके $A$ बाईं ओर, आपको मिलता है $A^2B = -ABA = BA^2$।

अब, केली-हैमिल्टन प्रमेय द्वारा, आप जानते हैं कि $$A^2- \mathrm{Tr}(A) A + \mathrm{det}(A) I = 0 \quad \quad (1)$$

द्वारा गुणा करना $B$ दाईं ओर, आपको मिलता है $$A^2B- \mathrm{Tr}(A) AB + \mathrm{det}(A) B = 0, \quad \text{ i.e.} \quad BA^2+ \mathrm{Tr}(A) BA + \mathrm{det}(A) B = 0 \quad \quad (2)$$

और गुणा करना $(1)$ द्वारा $B$ बाईं ओर, आपको मिलता है $$BA^2- \mathrm{Tr}(A) BA + \mathrm{det}(A) B = 0 \quad \quad (3)$$

अभी $(2)-(3)$ आपको देता है $$\mathrm{Tr}(A)BA=0$$

अगर $\mathrm{Tr}(A)=0$, आप कर चुके हैं। अन्यथा,$BA=0$, तो समीकरण $(3)$ आपको देता है $\mathrm{det}(A)B=0$, और क्योंकि $B \neq 0$, आप घटाते हैं $\mathrm{det}(A)=0$। $ $ $ $

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दूसरा सबूत : यहाँ प्रश्न को हल करने का एक और तरीका है। हमें लगता है कि $ \ mathrm {det} (A) \ neq 0 $ है , और हम उस $ \ mathrm {Tr} (A) = 0 $ को साबित करेंगे ।

चलिए $ A $ को $ \ mathbb {C} $ में ट्रिगर करते हैं । एक आधार $ \ lbrace x, y \ rbrace $ , और तीन जटिल संख्या $ \ lambda, \ mu, \ n $ मौजूद है जैसे $$ Ax = \ lambda x \ quad \ quad \ text {और}} Quad Ay = \ म्यू y + \ न्यू एक्स $$ (ध्यान दें कि $ \ lambda $ और $ \ म्यू $ eigenvalues के हैं $ A $ , और वे गैर शून्य क्योंकि कर रहे हैं $ \ mathrm {det} (ए) \ neq 0 $ ) ।

अब $ B $ को पहले समीकरण पर लागू करें : आपको $ $ BAx = \ lambda Bx \ quad \ quad \ text {{}} \ quad A (Bx) = - \ lambda (Bx) $ $ मिलता है यदि $ Bx / neq 0 $ , तब $ - \ lambda $ को $ A $ का एक प्रतिरूप होना पड़ता है , और क्योंकि $ \ lambda \ neq 0 $ , इसका मतलब है कि $ \ lambda $ और $ - \ lambda $ $ A $ के दो अव्यवस्थाएं हैं । तो $ \ mathrm {Tr} (A) = 0 $ ।

यदि इसके विपरीत, $ Bx = 0 $ है , तो आपके पास $ By \ neq 0 $ होना चाहिए क्योंकि $ B \ neq 0 $ । लागू करने $ B $ दूसरे समीकरण के लिए देता है $$ बे = \ म्यू + 0 \ ट्रैक्टर \ ट्रैक्टर \ पाठ करके {इसलिए} \ ट्रैक्टर ए (तक) = - \ म्यू (तक) $$ तो फिर, $ \ म्यू $ और $ - \ m $ $ $ A और $ \ mathrm {Tr} (A) = $ $ के केवल दो eigenvalues ​​हैं ।

Answer 2

ठीक है, मैं इस प्रश्न के लिए एक और उत्तर खोजने का प्रबंधन करता हूं, यह शायद भविष्य के पाठकों के लिए उपयोगी है।

अगर हम परिभाषित करते हैं $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ और जाने $M$ का मैट्रिक्स हो $T$, कहाँ पे $T$ द्वारा परिभाषित एक रेखीय परिवर्तन है $$T:\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R}), T(X)=AX+XA.$$ फिर, हम यह पता लगा सकते हैं $$ M= \begin{pmatrix} 2a&c&b&0\\b&a+d&0&b\\c&0&a+d&c\\0&c&b&2d \end{pmatrix}. $$ इसके अलावा, परिकल्पना अब इसके बराबर है $T(B)=0$ , कहाँ पे $B\neq0$, जो होता है अगर और केवल अगर $\det M = 0$।

दूसरे हाथ में हमारे पास है $\det M =4(a+d)^2(ad-bc)$इस प्रकार, $\det M = 0$ या तो $\mathrm{tr}(A)=a+d=0$ या $\det A = ad-bc=0$।