योजना के सिद्धांत में निकटता

Question

लश्कर $X$ एक योजना और बनो $(U_i)_{i\in I}$ एक खुला कवर,

(१) एक सबसेट दिया $Z\subset X$, क्यों करता है $Z\cap U_i$ सभी के लिए बंद है $i$ इसका आशय है $Z$ बंद हो गया है?

(२) आज्ञा देना $A$सहनशीलता। एक रूपवाद योजनाओं को देखते हुए$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ ऐसा है कि $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ सभी चक्कर के लिए बंद है $A$ योजनाओं $Y$, इसका मतलब यह है कि $f$ सार्वभौमिक रूप से बंद है?

Answer 1

(१) क्योंकि तब

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

और तब से $U_i\cap Z$ में बंद है $U_i$ हम देखते है कि $U_i-(U_i\cap Z)$ में खुला है $U_i$ और इस तरह से खुले $X$।

(२) हाँ, १ से)। उस जाँच करने के लिए$f$ सार्वभौमिक रूप से बंद है $Y$ कोई भी हो $A$-scheme। हमें वह दिखाने की जरूरत है$f(X_Y)$ में बंद है $Y$। लेकिन देखते हैं$Y=\bigcup_i U_i$ ओपन सबस्क्रिप्शन को कम करने के लिए $U_i$ का $Y$। 1) यह देखने के लिए पर्याप्त है$f(X_Y)\cap U_i$ सभी के लिए बंद है $i$। लेकिन, ध्यान दें$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$। दरअसल, यह कार्टेशियन आरेख से होता है

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

तो, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $f(X_{U_i})$बंद हो गया है। लेकिन जबसे$U_i$ एक अनुराग है $A$-बता दें कि इसे हम धारणा के द्वारा जानते हैं।

Answer 2

योजनाओं के परिमित आकारिकी बंद हैं। । पहले भाग के उत्तर को यहां देखें।

लश्कर $Y$ सेम $A$-scheme। कहो$Y=\bigcup_i Y_i$ कहाँ पे $Y_i \subset Y$खुले अनुष्ठान उपमेय हैं। दिखाएगा$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$एक बंद नक्शा है। लश्कर$C\subset X\times_A Y$। सेट$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$। फिर$C_i$ में बंद है $X\times_A Y_i$ जो की एक खुली उप-योजना है $X\times_A Y$। हमारे पास कम्यूटेटिव डायग्राम है$\require{AMScd}$ \ start {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V @ id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> Y \ end {सीडी} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ जो अंदर बंद है $Y_i$धारणा से। तो पिछले भाग द्वारा,$f(C)$ में बंद है $Y$। इस प्रकार$f$ सार्वभौमिक रूप से बंद है।