Teorema binomial vs probabilitas suatu urutan

Question

Dalam buku Daniel Kahneman "Thinking, Fast and Slow", dia menawarkan contoh berikut tentang bagaimana pikiran kita mengidentifikasi pola sebab akibat dari kebetulan acak.

Sebuah rumah sakit memiliki 6 bayi yang lahir dalam sehari. Kita tahu bahwa kelahiran laki-laki dan perempuan memiliki kemungkinan yang sama dan kelahiran itu sendiri-sendiri. Apakah 3 urutan ini sama-sama mungkin?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Secara intuitif kami tidak berpikir demikian, bagaimanapun, karena kejadiannya independen maka ketiga urutan memiliki probabilitas yang sama (dia tidak menyatakan tetapi saya anggap ini adalah $0.5^6$).

Pertanyaan saya adalah, bagaimana hal ini sesuai dengan fakta bahwa kemungkinan memiliki 6 anak perempuan dari 6 kelahiran dari binomialnya jauh lebih kecil kemungkinannya daripada 3 anak perempuan (0,015625 vs 0,3125)? Jika pertanyaannya menanyakan tentang urutan yang berbeda dari rasio yang sama dari kelahiran G / B maka mereka semua akan memiliki kesempatan yang sama, tetapi saya tidak dapat melihat bagaimana itu benar dalam bentuknya saat ini.

Answer 1

Pertanyaan saya adalah, bagaimana hal ini sesuai dengan fakta bahwa kemungkinan memiliki 6 anak perempuan dari 6 kelahiran dari binomialnya jauh lebih kecil kemungkinannya daripada 3 anak perempuan (0,015625 vs 0,3125)?

Probabilitas 3 anak perempuan adalah probabilitas bbbggg, bbgbgg, bbggbg, bbgggb, bgbbgg, bgbgbg, bgbggb, gbbbgg, gbbgbg, gbbggb, bgggbb, bggbgb, bggbbg, gbggbbb, gbgbgg, gbgbbg, gbbbgb, dan gbgbgg, gbgbbg, gbbbgb, dan gbgbbg Masing-masing dari 20 ini memiliki probabilitas 0,015625 individual, dan untuk mendapatkannya, Anda memiliki probabilitas 0,3125.

Apakah 3 urutan ini sama-sama mungkin?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Namun secara intuitif kami tidak berpikir demikian ...

Saya dapat melihat dua alasan mengapa kami membuat penilaian GGGGGG dan BGBBGB ini berbeda:

Microstates dan macrostates

Ada lebih banyak cara bagaimana Anda bisa mendapatkan 3 anak perempuan daripada hanya urutan BGBBGB.

Untuk mendapatkan urutan khusus ini, urutan BGBBGB kemungkinan besar akan mendapatkan urutan GGGGGGG. Tetapi ketika Anda membandingkan jumlah total anak perempuan dan laki-laki, haruskah Anda memperhatikan urutan spesifiknya?

Seringkali seseorang tidak tertarik pada detail tertentu tetapi justru tertarik pada angka global. Misalnya, seseorang tertarik pada probabilitas jumlah total anak laki-laki dan perempuan tertentu, dan bukan dalam urutan tertentu.

Perbedaan antara keadaan mikro dan keadaan makro ini sangat sering terjadi dalam fisika. Misalnya, jika Anda mendapat ban bocor maka kemungkinan besar akan kehilangan tekanan dan menjadi kosong. Namun, mikroskopis suatu tertentu keadaan deflasi mungkin hanya sebagai kemungkinan sebagai negara tertentu yang tersisa penuh.

Probabilitas terbalik

Secara tidak langsung, ketika kita 'menganalisis' urutan biner tertentu, maka kita tidak hanya melihat probabilitas urutan itu, melainkan kita melihat probabilitas relatif . Hal ini karena seringkali kita tidak secara langsung tertarik pada probabilitas pengamatan (bukan pada awalnya dan hanya secara tidak langsung) tetapi sebaliknya kita tertarik pada apa yang dikatakan pengamatan tentang parameter yang tidak diketahui yang mendasarinya. Dan pengamatan dengan probabilitas yang sama (diberikan hipotesis tertentu) mungkin masih menceritakan cerita yang berbeda (karena mereka tidak selalu memiliki probabilitas yang sama untuk hipotesis lain). Ini bukan tentang perbedaan probabilitas untuk pengamatan yang berbeda, tetapi tentang perbedaan kemungkinan (atau rasio kemungkinan ) untuk nilai parameter yang berbeda.

Jika parameter probabilitas untuk anak laki-laki dan perempuan sama $p_{boy}=p_{girl}=0.5$maka pengamatan GGGGGG tidak kurang atau lebih tidak mungkin dibandingkan dengan pengamatan BGBBGB. Bagaimanapun pengamatan GGGGGG masih menonjol sebagai pengamatan khusus karena relatif lebih mungkin bila$p_{girl}$lebih tinggi. Pengamatan GGGGGG lebih mungkin ketika$p_{girl}>p_{boy}$ daripada kapan $p_{girl}=p_{boy}$, dan karena itu kami memilihnya sebagai kasus khusus.

Sehingga pada akhirnya kita lebih sering membandingkan / menilai urutan tersebut dengan menggunakan likelihood ratios.

Contoh kemungkinan untuk kasus sampel yang dipesan dari 5 ada di bawah ('theta' di sini adalah probabilitas untuk a 'b'). Anda dapat melihat bahwa hanya jumlah total yang relevan (dan bukan urutan) untuk kemungkinan (ini terkait dengan kecukupan ).

observation        probability of observing given theta

bbbbb              (1-theta)^0(theta)^5

rbbbb              (1-theta)^1(theta)^4
brbbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbrbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbrb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbbr              (1-theta)^1(theta)^4

rrbbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbrbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbrb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbbr              (1-theta)^2(theta)^3
brrbb              (1-theta)^2(theta)^3
brbrb              (1-theta)^2(theta)^3
brbbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbrrb              (1-theta)^2(theta)^3
bbrbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbbrr              (1-theta)^2(theta)^3

rrrbb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbrb              (1-theta)^3(theta)^2
rbrrb              (1-theta)^3(theta)^2
brrrb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbrbr              (1-theta)^3(theta)^2
brrbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbbrr              (1-theta)^3(theta)^2
brbrr              (1-theta)^3(theta)^2
bbrrr              (1-theta)^3(theta)^2

brrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rbrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrbrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrbr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrrb              (1-theta)^4(theta)^1

rrrrr              (1-theta)^5(theta)^0