Дифференцируемость в точке перегиба
Точка перегиба буквально означает, что наклон не меняется в этой точке, поэтому не должны ли все точки перегиба быть принудительно дифференцируемыми? Я не совсем понимаю точку перегиба. Это момент, когда вогнутость графика меняется, но это кажется слишком расплывчатым. Наклон постоянен в этой точке, но как может наклон быть постоянным в «ТОЧКЕ» ?? Разве нам не нужны близлежащие точки для склона? Что же такого особенного в точке перегиба, когда все дифференцируемые точки уже имеют одинаковую левую и правую производную? Когда x стремится к 0, разве не все дифференцируемые точки имеют одинаковый наклон слева и справа? Так почему же точка перегиба отличается?
Надеюсь, у вас есть вопрос!
Ответы
Как также показано в этом ответе , неверно предполагать, что условие$f''(x) = 0$является единственным критерием определения того, является ли точка точкой заражения. Я процитирую тот же пример, чтобы подчеркнуть это.
Рассмотрим функцию: $$f(x)=\cases{ -x^2 & $х \ le 0$ \\ x^2 & $х> 0$ }$$
Если вы нарисуете график функции, вы можете довольно четко заметить, что вогнутость указанной выше функции изменяется на $x = 0$. Однако вторая производная в этой точке не является непрерывной.
Следовательно, ваш аргумент о том, что точка перегиба подразумевает, что наклон «не меняется», также совершенно неверен. Хотя верно, что если вторая производная непрерывна в точке$x = a$ и вторая производная существует в точке, то $f''(a) = 0$, мы не можем просто заключить, что точка является точкой перегиба, отметив, что двойная производная равна нулю. Вы также можете рассмотреть графики функций$y = x^{2n}$ за $2 \le n$ где двойная производная обращается в нуль при $x=0$ но вогнутость не меняется.