«Элементы» действительного числа
Этот вопрос, по сути, является перефразированием отдельного (удаленного) вопроса, в котором говорится о комментарии Асафа Карагилы об «элементах$\pi$".
Я знаю, как натуральные числа можно рассматривать как множества , например$3$ можно рассматривать как набор $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, так есть элементы $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Это кажется довольно конкретным и естественным.
Я вижу, что мы можем адаптировать это для работы с целыми числами, например, добавив второй пустой набор в качестве «маркерного» элемента (так $-3$ соответствует $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$). Я также вижу, что мы можем адаптировать эту идею «маркера» для работы с рациональными числами (которые представляют собой пары целых чисел, и мы «помечаем» верхнее и нижнее определенным образом). Однако я уже начинаю нервничать здесь, поскольку это кажется гораздо более синтетическим, чем то, как мы рассматривали натуральные числа.
В любом случае. Мне непонятно, как число вроде$\pi$ или же $e$могут иметь элементы. Один из способов - рассматривать эти числа как пределы последовательностей, то есть как списки рациональных чисел. Однако это кажется подозрительным, поскольку эти числа являются пределами кратных последовательностей, поэтому это дает мне не канонический набор, который представляет эти числа, а вместо этого семейство наборов. Это нормально, или мои рассуждения неверны?
Итак, я хочу спросить:
Какие элементы $e$?
Или, более тонко, имеет ли этот вопрос смысл, или нам следует убрать из него слово «the»?
Ответы
Какие именно биты в строке, которая является моим ответом? Ну, это зависит от того, как вы это кодируете. Это UTF-8, может быть, UTF-16, или, может быть, это ASCII. Возможно, вы используете браузер, который представляет строки как последовательности с завершающим нулем, или, может быть, это более сложный тип объекта.
Дело в том, что у этой строки текста, который вы сейчас читаете, есть множество способов, все действительные и все по-своему полезные, чтобы стать последовательностью битов в памяти вашего компьютера.
Точно так же реальные числа, как их обычно думает, всего лишь абстрактная сущность. Как строка текста. Теория множеств, как и любой фундамент математики, реализует эти абстрактные сущности как множества (или иначе в других основаниях). Какие точные наборы являются действительными числами? Это зависит от того, как вы их реализуете.
Так называемый стандартный маршрут в случае вещественных чисел и $\sf ZFC$ (и связанные с ним теории множеств) будут:
- Зафиксируйте кодировку упорядоченных пар, обычно это пара Куратовского.
- Использовать $\omega$, наименьший бесконечный порядковый номер, для моделирования натуральных чисел.
- Определять $\Bbb Z$ как частное от $\omega\times\omega$ алгебраическим способом.
- Определять $\Bbb Q$ как частное от $\Bbb{Z\times Z}$ алгебраическим способом.
- Определять $\Bbb R$ как завершение $\Bbb Q$, что в случае теории множеств несколько естественнее с помощью дедекиндовских разрезов.
В этом случае элементы $e$, или любое действительное число, являются рациональными числами меньше, чем $e$. Но каковы рациональные числа? Что ж, это наборы пар целых чисел, которые сами по себе являются наборами пар конечных ординалов, которые сами по себе имеют довольно хорошо понятную структуру.
Однако это не единственный способ кодировать действительные числа. Мы можем выбрать другой способ кодирования упорядоченных пар или использовать пополнение Коши с использованием классов эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел. Мы можем кодировать целые числа по-разному, или мы можем решить перейти от$\omega$ к неотрицательным рациональным числам и только потом вводим отрицательные.
Существует множество способов кодирования действительного числа в наборы. Фактически, мы можем просто взять любой набор размеров$2^{\aleph_0}$, запустите "стандартный маршрут", а затем используйте биекцию, чтобы сделать эту кодировку. В теории множеств действительные числа часто рассматриваются как:
- Подмножества $\omega$.
- Функции из $\omega$ к $\omega$.
- Функции из $\omega$ к $2$.
- Некоторая комбинация вышеперечисленных наборов.
Это зависит от контекста. Точно так же, как вопрос о том, представлена ли строка, которую вы читаете, так или иначе, зависит от того, какой браузер вы используете, какую операционную систему вы используете и т. Д.
Поэтому на ваш вопрос, являются эти элементы$e$? Ну, это зависит от того, какой набор$e$.
Следуя Дедекинду , давайте смоделируем каждое действительное число как закрытое вниз собственное подмножество рациональных чисел без наибольшего элемента. потом$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$
Это зависит от того, как вы определяете реальные числа.
Метод последовательности Коши для определения действительных чисел немного сложнее, чем подход Дедекинда. Действительное число в этом определении - это класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел.
Это означает, что элемент представляет собой единую последовательность Коши. $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ рациональных чисел, которая сходится к $e,$ или, менее циклично, учитывая:
$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ у нас есть $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ если $x_n-e_n\to 0.$
Стандартная конструкция уже $\Bbb Z$ из $\Bbb N$отличается от вашей специальной идеи (которая, возможно, намного проще). По пути мы будем активно использовать пары и отношения эквивалентности. Так что помните, что для пар можно использовать определение Куратовски$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ Мы определяем как множество классов эквивалентности пар натуральных чисел, $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ где $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ И мы вводим $\Bbb N\to \Bbb Z$ через $n\mapsto \overline{(n,0)}$. С этим,$0\in\Bbb Z$ это набор $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ и уже намного сложнее, чем $0=\emptyset\in\Bbb N$ у нас было раньше.
Далее мы обычно определяем $\Bbb Q$ как классы эквивалентности пар целых чисел, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ где на этот раз $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ И мы вводим $\Bbb Z\to \Bbb Q$ через $k\mapsto \overline{(k,1)}$.
Возможны несколько способов добраться до реалов. Я бы предложил сокращения Дедекинда, но кроме оригинальной работы Дедекинда (пары наборов рациональных чисел), я бы предложил использовать только отдельные наборы рациональных чисел (с определенными свойствами)$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$
При этом элементы $\pi$ просто все рациональные числа $<\pi$ (Например $3$ или же $\frac{22}7$ или же $-42$). В частности$0$ такой элемент, но это не $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, ни $0_{\Bbb Z}$ описанный в $(1)$ выше, но класс эквивалентности дробей $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.