GIT и особенности
Позволять $G$ - сложная редуктивная группа, действующая на сложном аффинном многообразии $X$ и разреши $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ быть частным GIT.
Есть ли связь между единичным локусом $X$ и что из $X // G$?
Конечно, $X//G$ может быть очень необычным, в то время как $X$гладко. Но, например, мне было интересно, есть ли (или при каких условиях) особые точки$X$ отображаются в особые точки $X // G$.
Редактировать. Приятный комментарий Спенсера ниже показывает, что ответ на последнее - нет. Но, возможно, лучший и более точный вопрос: если$X // G$ неособен в $y$, существует ли неособая $x \in X$ отображение на $y$? Другими словами, все волокна$X \to X // G$ в неособых точках содержат неособую точку $X$? Я готов предположить несводимость или другие хорошие свойства.
Ответы
Это ответ на уточненный вопрос. Это простейший контрпример, который я могу придумать, где редуктивная группа является гладкой и связной, где$X$ нормально и аффинно, и где $Y=X//G$ гладко, даже если существуют слои фактор-отображения, содержащиеся в сингулярном множестве $X$.
Позволять $Y$ быть $\text{Spec}\ k[x,y,z]$, т. е. аффинная $3$-космос. Позволять$G$ - мультипликативная группа единиц, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Позволять$X$ быть $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ где $f$ - многочлен, $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ Пусть действие $G$ на $X$ определяться $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ Кольцо $G$-инвариантный многочлен - подкольцо, $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ Фактор-карта - это просто обычная проекция, $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ Для плотных Зарисских открыты $U = D(xz-y^2)\subset Y$, обратное изображение $q^{-1}(U)$ это $G$-торсор $U$.
Особое место $X$ единственный $q$-волокно, $q^{-1}(0,0,0)$. Хотя начало координат является гладкой точкой$Y$, каждая точка этого $q$-волокно - особая точка $X$.