Необычные связи чисел

Question

У нас есть уравнение $(DX)^2-Y^2= ± Z^5$ а также $x,y$два положительных целых числа больше нуля. Из некоторых фактов мы можем получить решения вышеуказанного уравнения, задав целые значения при$x,y$. Примеры:

• если $x=11$ а также $y=2$ тогда у нас есть решение $11*(641)^2-(2122)^2=7^5$;

• если $x=5$ а также $y=2$ тогда у нас есть решение $5*(305)^2-(682)^2=1^5$;

• если $x=7$ а также $y=4$ тогда у нас есть решение $7*(2449)^2-(6484)^2=(-9)^5$.

Загадка такова:

1. Вы можете представить еще такие решения?

2. Как можно решить такие уравнения?

Answer 1

Процесс расчета

Дано $x$ а также $y$рассчитать

$x-y^2=Z$,

чтобы

$(y-\sqrt{x})(y+\sqrt{x})=-Z$.

Принимая полномочия, это означает

$(y-\sqrt{x})^5(y+\sqrt{x})^5=-Z^5$.

Теперь мы знаем, что

$(y+\sqrt{x})^5$ это число в форме $Y+X\sqrt{x}$ для некоторых целых чисел $X,Y$, а затем спряжением $(y-\sqrt{x})^5=Y-X\sqrt{x}$.

Итак, мы нашли решение

$(Y-X\sqrt{x})(Y+X\sqrt{x})=-Z^5$,

или другими словами $DX^2-Y^2=Z^5$ с участием

$D=x$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$,

или в обозначении OP $(DX)^2-Y^2=Z^5$ с участием

$D=\sqrt{x}$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$.

Пример

Начнем с относительно простого примера $x=2,y=1$ и рассчитаем следующим образом:

• $Z=1$, $(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$,

• $(1+\sqrt{2})^5=1+5(\sqrt{2})+10(2)+10(2\sqrt{2})+5(4)+(4\sqrt{2})=41+29\sqrt{2}$,

• $(41-29\sqrt{2})(41+29\sqrt{2})=(-1)^5$,

и решение $2*(29)^2-(41)^2=1^5$, что можно проверить с помощью калькулятора.

В качестве другого примера с четным значением $Z$, давайте использовать $x=3,y=1$ и получить:

• $Z=2$, $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=-2$,

• $(1+\sqrt{3})^5=1+5(\sqrt{3})+10(3)+10(3\sqrt{3})+5(9)+(9\sqrt{3})=76+44\sqrt{3}$,

• $(76-44\sqrt{3})(76+44\sqrt{3})=(-2)^5$,

и решение $3*(44)^2-(76)^2=2^5$, что можно проверить с помощью калькулятора.

Мой мыслительный процесс

Вся эта загадка, вероятно, связана с

Уравнение Пелля и связанная с ним теория полей алгебраических чисел,

действительно, второй из примеров, приведенных в ОП, на самом деле является решением этого уравнения. Новой особенностью этой головоломки по сравнению с тем, что я узнал на курсах теории чисел бакалавриата, является использование пятых степеней. Как мы можем связать пятые полномочия с

арифметика извлечения квадратного корня, позволяющая решить уравнение Пелла? Хорошо, если у нас есть$a-b\sqrt{d}$ приводя к целому числу $n$ при умножении на сопряженное, то $(a-b\sqrt{d})^5$ аналогично приведет к целому числу $n^5$.

Затем я заметил закономерность в данных значениях, которые

$11-2^2=7$, $5-2^2=1$, $7-4^2=-9$,

что подтвердило мне направление, в котором можно подойти к этой загадке.