Непрерывность плотностей случайного процесса
Позволять $X=(X_t)_{t\in I}$ ($I\subset\mathbb{R}$ интервал) - случайный процесс с непрерывными траекториями выборки и такой, что $X_t$ допускает непрерывную плотность Лебега $\chi_t\in C(\mathbb{R}^d)$ для каждого $t\in I$.
Известны ли вам (минимальные) условия на $X$ которые гарантируют, что функция $(t,x)\mapsto \chi_t(x)$ непрерывно на $I\times\mathbb{R}^d$?
(Может быть, непрерывность выборки $X$ уже хватит?)
Ответы
Поистине минимальное условие на $X$ что гарантирует, что функция $(t,x)\mapsto p_t(x):=\chi_t(x)$ непрерывно тавтологично: $p_t(x)$ непрерывно в $(t,x)$ если и только $p_t(x)$ непрерывно в $(t,x)$. Что касается минимальности, я не думаю, что вы можете сделать что-то лучше этого.
Однако довольно легко увидеть, что непрерывность выборки $X$ недостаточно даже для непрерывности $p_t(x)$ в $t$ (для фиксированных $x$). Например, пусть$$p_t(x):=(1+\sin\tfrac xt)f(x)$$ серьезно $x$ и настоящий $t\ne0$, с участием $p_0:=f$, где $f$это стандартный нормальный pdf. потом$p_t$ представляет собой непрерывный PDF-файл для каждого $t$и, согласно лемме Римана – Лебега ,$$F_t(x):=\int_{-\infty}^x p_t(u)\,du$$ непрерывно в реальном $t$ для каждого реального $x$. Более того,$F_0$ непрерывно и строго возрастает (на самом деле, $F_t$ так для каждого реального $t$). Следовательно, процесс$(X_t)$ определяется формулой $$X_t:=F_t^{-1}(U),$$ где $U$ - случайная величина, равномерно распределенная на интервале $(0,1)$, имеет непрерывные пути. Также,$p_t$ это PDF-файл $X_t$, для каждого $t$. Тем не мение,$p_t(x)$ не является непрерывным в $t$ для любого реального $x\ne0$.
Я не думаю, что непрерывности выборочного пути достаточно. Вот мой предполагаемый контрпример. Плотность равна 1 + 0,5 * sin (x / (1-t)), 0 <t <1. При t -> 1 это сходится к равномерному по Риману-Лебегу, но, конечно, не непрерывно на [0,1] x [0,1]. Чтобы получить случайный процесс с плотностями, пусть F_t будет кумулянтом и просто возьмем$X_t(x) = F_t^{-1}(x)$. я думаю$F_t$достаточно непрерывны, чтобы эти пути были непрерывными. $$$$ Два замечания: 1. ваши плотности должны быть слабо непрерывными по t из-за непрерывности пути (сходимость подразумевает сходимость в распределении, и 2, если вас беспокоит, что у меня есть разрыв в конечной точке (t = 1) , просто заморозьте процесс, чтобы продолжить t = 1