О производном функторе (Tor)

Question

Позволять $A$ коммутативное кольцо с 1, и предположим, что $$0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$$ быть короткой точной последовательностью $A$-модули. Позволять$D$ быть $A$-модуль.

Я понимаю, что если $Tor^{A}_1(D,P)=0$, то соответствующая точная последовательность $$0 \longrightarrow D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN \longrightarrow D\otimes_AP \longrightarrow 0 $$является точным, поскольку Tor - функтор, производный слева.

Но, наоборот, если мы знаем, что данная последовательность тензорного произведения точна, мы всегда можем сказать, что $Tor^{A}_1(D,P)=0$?

Ответ - да (говорит Атья), но я не могу понять, почему это так. Я думаю, может случиться так, что$Tor^{A}_1(D,P)\neq0$ но изображение $Tor^{A}_1(D,P) \longrightarrow D\otimes_AM$ равен нулю, так что отображение $D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN$ инъективно.

Answer 1

Мы могли бы иметь $N=P$ и $M=0$. Это сделало бы$$ 0 \to D\otimes_AM \to D\otimes_AN \to D\otimes_AP \to 0 $$ точный, несмотря ни на что $P$ является.

Я думаю, что вместо этого Атья имел в виду, что если тензорная последовательность точна для любого $M,N$ такой, что $$0\to M\to N\to P\to 0$$ точно, тогда мы получаем $\operatorname{Tor}_1^A(D,P)=0$.