Оценка интеграла Лебега

Question

У меня возникли проблемы со вторым пунктом этого вопроса, и я не совсем уверен, что правильно сделал первый, поэтому:

Для $x\in\mathbb{R} - \{0\}$, позволять $f_n(x) = \frac{1}{(1 + n^2 + x^2)(\arctan (x^2))^{1/n}}$, $n \in\mathbb{N} - \{0\}$

(i) определить, для каких $n ∈ \mathbb{N}, f_n$ ∈ $L^1(\mathbb{R})$

(ii) оценить $\lim_{n\to \infty}$ $\int_{\mathbb{R}} f_n \,dm$;

В первую очередь я замечаю, что $f_n$ п.в. непрерывны, что подразумевает, что они измеримы, а функции четны, поэтому я могу сузить свой анализ до $[0, \infty )$.

Потом, когда $x\rightarrow\infty, \, f_n \sim \frac1{x^2\bigl({\pi\over2} \bigr)^{1 \over n}} \le {1 \over {x^2}}$ поэтому я могу сказать, что интеграл сходится для каждого $n\in\mathbb{N} - \{0\}$

Вместо этого, когда $x \rightarrow 0$, $f_n \sim \frac1{(1+x^2)x^{2 \over n}} \le {1 \over {x^{2\over n}}}$ который сходится для каждого $n \gt 2 $. Затем мы подошли ко второму пункту, здесь я не смог найти интегральную мажоранту для использования теоремы Лебега о доминируемой сходимости, и я даже не смог определить, существует ли цепь типа$f_1 \le f_2 \le f_3 \le \cdots \le f_n \le \cdots$ для того, чтобы использовать теорему о монотонной сходимости, чтобы перейти предел под знаком интеграла и оценить его.

В качестве дополнения я думаю, что интеграл в конце концов равен нулю, потому что $\lim_{n\to \infty} f_n = 0$.

Большое спасибо вам.

Answer 1

Сразу отметим, что для любого фиксированного $\epsilon \in(0,1)$ тогда $0\leqslant f_n(x)\leqslant \frac1{(1+x^2)\arctan (\epsilon ^2) }$ для всех $x\in \mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )$ и все $n\in \mathbb{N}$ так что теорема о доминирующей сходимости показывает нам, что $$ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ Обратите внимание, что $|x|/2\leqslant |\arctan x|$ для всех $x\in (-\epsilon ,\epsilon )$. Следовательно$$ 0\leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda \leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}\frac2{n^2|x|^{2/n}}\mathop{}\!d x =\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y\leqslant \int_{(0,1)}\frac4n\epsilon ^{1-3/n}\mathop{}\!d y $$ Тогда теорема о мажорируемой сходимости показывает, что $$ \lim_{n\to\infty}\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y=0\implies \lim_{n\to\infty}\int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ поэтому мы заключаем, что $\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n\mathop{}\!d \lambda =0$.