Определение supremum
Я просто озадачен наблюдением, сделанным мною над студенческими текстами по реальному анализу. Понятия supremum и infimum не особенно легко понять студентам, которые только что знакомы с предметом, и им, безусловно, намного легче понять максимум и минимум набора (включая тот факт, что они могут не существовать) и оценок сверху. Все, что нужно сделать, это указать интервалы, такие как$[0,2]$ и $[0,2)$ и поговорим о цифрах 2 и 3. Так почему бы не определить наименьшую верхнюю границу множества $S$ (в упорядоченном поле) как минимум (он существует) набора всех верхних границ для $S$?
Я изучил большое количество студенческих текстов по реальному анализу и никогда не находил ни этого простого определения, ни даже упоминания слова «минимум». Большинство из них будет определять это, используя гораздо более сложный способ: «это верхняя граница, и для любого числа, строго меньшего, чем оно, будет несколько и т. Д. И т. Д.». Некоторые скажут: это верхняя граница$M$ так что если $x$ является верхней границей, то $M\leq x$. Опять же, почему бы не сказать: «это минимум набора всех верхних границ»? Некоторые просто скажут «это наименьшая верхняя граница», но даже это изменение языка с минимального на минимальное, и в любом случае они используют «наименьшую верхнюю границу» как просто название концепции, а затем переходят к ее определению. запутанным способом.
Я не собираюсь публиковать это как тему обсуждения, только как настоящий вопрос о том, упускаю ли я что-то важное, что объяснит, почему такое определение supremum - хорошая идея.
Ответы
Я не думаю, что есть разница между утверждением, что это «наименьшая верхняя граница», или утверждением, что это «минимум набора всех верхних границ».
Позволять $S$ быть набором и пусть $M$- множество всех верхних границ. Тогда у нас есть два возможных случая:$\exists \max S$ или же $\nexists \max S$:
$\exists \max S$:
Если $\exists \max S$, то это означает, что $\forall s \in S, s \leq \max S$, поэтому отсюда следует, что $\max S \in M$.
Теперь предположим, что $\max S$ это не минимум $M$. Это значит, что:$\exists m \in M: m < \max S$. Потом,$\forall x \in S, x \leq m$, потому как $m$также является верхней границей. Но$\max S \in S$, так что это значит, что $\max S \leq m$. Определяющее свойство$m$ было: $m \in M: m < \max S$. Так что это противоречие. Это значит, что$\max S$ действительно минимум $M$ и поэтому $\sup S = \min M = \max S$.
$\nexists \max S$:
Теперь предположим, что $\nexists \max S$. Позволять$M$ - множество всех верхних границ.
Предположим, что $\nexists \min M$. Это значит, что$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Это означало бы, что если$a_1 \in M$, тогда $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Но потому что$a_1$ это не минимум, тогда $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. это означает, что мы можем подойти произвольно близко от$s$. Тогда это означает, что мы можем найти последовательность$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ такой, что $\lim _n a_n = s$.
Теперь позвольте $s_1, s_2 \in S$ такой, что $s_1 < s_2$. Тогда мы можем найти последовательность$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ такой, что $\lim _n a_n = s_1$. Но поскольку мы можем сколь угодно близко подойти к$s_1$, это значит, что $\exists k \in \Bbb N:$ если $n \geq k$ тогда $s_1 < a_n < s_2$. Это противоречие, так как$a_n \in M$является верхней границей. Это значит, что$\exists \min M$.
Итак, сделайте вывод, что $\sup S = \min M$ даже если $\nexists \max S$.
Итак, для каждого набора $S$, $\sup S = \min M$. Вы можете использовать аналогичные аргументы, чтобы показать, что$\inf S = \max M$