Ориентир в разложении Тейлора
Скажем, я хочу найти расширение Тейлора по этому поводу $x_0=1$ функции $f(x)=e^{2x}$. Следуя стандартной формуле, мы получаем следующие несколько первых членов.
$$ f(x) = e^{2} + 2e^{2}(x-1) + \frac{4e^{2}(x-1)^2}{2} + \ldots . $$
Однако я иногда вижу, как мой лектор использует эти обозначения для приведенного выше разложения Тейлора.
$$ f(1+\epsilon ) = e^{2} + 2e^{2}\epsilon + \frac{4e^{2}\epsilon^2}{2} + \ldots . $$
На мой взгляд, единственная разница - это точка отсчета, т.е. в первой постановке точкой отсчета является $0$ а во втором это $1.$ Что правильнее всего использовать?
Ответы
Нет более правильного. Вы можете попросить серию Тейлора по любому поводу. Он может существовать, а может и не существовать. Если он существует, он сойдется в радиусе расстояния до ближайшей сингулярности. Обе ваши функции являются реальными аналитическими, что означает, что ряд Тейлора в обеих точках существует и равен функции везде.
Формула для ряда Тейлора с центром в точке $a$, является $f(x)=\sum_{n\ge0}f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!$.
Возьмем другой пример, обратное $e^x$, $\ln x$, это приводит к большему различию там, где вы просите ряд Тейлора, поскольку он не всегда определяется. Часто считают$\ln(1+x)$, чтобы избежать сингулярности при $0$.