Почему $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Пусть A неквадратная матрица. Почему верно следующее равенство?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Попытка:

Поскольку собственное значение квадратной матрицы $X$, является обратной величиной собственного значения $X^{-1}$, у нас есть:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Имею следующее:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

То, что вы хотите доказать, довольно просто и верно для всех квадратных матриц, а не только для матриц вида $A^TA$. $\nu$ является собственным значением $P$ если только $1-\nu$ является собственным значением $I-P$. Таким образом, любое собственное значение$I-P$ имеет форму $\nu=1-\lambda$ где $\lambda$ является собственным значением $P$. Взяв минимум,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ поскольку $1-\lambda$ сводится к минимуму, когда $\lambda$ максимум.