Производная Бесселя $K$

Question

Меня интересует первая производная от Бесселя $K$функция по отношению к ее параметру. Я буду использовать следующие обозначения;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

Я видел несколько разных выражений для $K^{(1,0)}$, например здесь: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

Выражения лица мне кажутся довольно жестокими; с участием бесконечных сумм по кучке гамма-функций и дигамма-функций и т. д. У меня нет большого опыта работы с такими типами рядов.

Однако эти выражения либо для общих $n\in \mathbb{Z}$ или $n \notin \mathbb{Z}$, и в настоящее время меня интересуют только $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. я знаю это$K_{\frac{1}{2}}(z)$ значительно упрощается по сравнению с обычным $K_\nu(z)$, поэтому я думаю, что есть надежда, что $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ также можно упростить по сравнению с $K^{(1,0)}(n,z)$.

Кто-нибудь знает, можно ли дать упрощенное выражение для производной $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ Бесселя $K$ функция?

Answer 1

Эта производная представлена ​​в явной таблице ( DLMF ) \ begin {уравнение} \ left. \ Frac {\ partial K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ partial \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {уравнение} где \ begin {уравнение} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {уравнение} - экспоненциальный интеграл.