Производная дифференцируемой функции

Question

Учитывая функцию $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ такой, что $f$ дифференцируема в $(a,b)$ и непрерывно на $0$ и $1$. Позволять$g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ быть линией, которая проходит через $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$. Мне было интересно, как это показать каждому$s \notin [a,b]$, Существует $t \in [a,b]$ такая, что касательная к $f(x)$ в момент $(t,f(t))$ проходит через $(s,g(s))$? (Я думал использовать теорему о среднем значении, но мне не удалось доказать это, используя только MVT.)

Answer 1

WLOG, $f(a)=f(b)=0$ потому что мы можем вычесть из $f$линейная функция без нарушения условия касания. Теперь рассмотрим вспомогательную функцию

$$\frac{f(t)}{t-s}$$ который имеет производную

$$\frac{f'(t)(t-s)-f(t)}{(t-s)^2}$$ отмена где

$$f'(t^*)=\frac{f(t^*)}{t^*-s}$$ и применим теорему Ролля.