Производная интеграла с пределами

Question

У меня следующая проблема:

Позволять $f(x) = \int_{3}^{x}\sqrt{1+t^3}\ dt$. найти$(f^{-1})'(0)$.

Я знаю, что если $g' = f^{-1}(x)$ это $g'(f(x))f'(x) = 1$. Очевидно, когда$x$ является $3$, $f(x)$ является $0$. Итак, я решил, что:

$\displaystyle\ g’(f(3))f’(3)=1→ g'(0)=\frac{1}{f'(3)}→(f^{-1})'(0)=\frac{1}{\frac{d}{dt}[\int\sqrt{1+3^{3}}dt]}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}$ $$=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Мой вопрос: так как $f(x)$ изначально была интегральной оценкой из $3$ к $x$, не должен $x$ быть $3$через уравнение, делая бесполезной попытку взять его производную? Приведет ли это к тому, что решение будет «не определено», поскольку вы не можете разделить$(1)$на ноль? Или производная фактически сводит на нет ограничения?

Answer 1

По фундаментальной теореме исчисления у вас есть$$f'(x)=\sqrt{1+x^3}.$$

В качестве альтернативы напомним, что $x=f(f^{-1}(x))$, поэтому, дифференцируя обе части уравнения и используя цепное правило, мы имеем $$1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'$$

так $$(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(x))^3}}$$

тогда с $f(3)=0$ у нас есть $f^{-1}(0)=3$ (как вы упомянули) и таким образом

$$(f^{-1}(0))'=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(0))^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Answer 2

Весь мой ответ здесь будет основан на том факте, что вы предположили $x \geq 3$. Если я ошибаюсь, ваше сомнение должно быть связано с ощущением ограничений в интеграции.

Я хочу, чтобы вы напомнили основополагающий принцип деривативов.

Первый принцип дифференциации.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}$$ Здесь мы получаем значение производной, запустив $h$ как в положительной, так и в отрицательной окрестности $0$.
Следовательно, получение бесконечно малых изменений в$f(x)$ в районе $x$ за бесконечно малое изменение $x$.

Но когда любой из соседей отсутствует в области рядом с $x$ мы только в одном направлении.

Например $\ln(x), x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ так далее...

Думаю, вы уловили картину. Теперь вы задаетесь вопросом о смысле этой производной. Это когда какой будет наклон (скорость изменения) кривой / функции, когда она пойдет в единственном разрешенном направлении.

Точно так же и рассматриваемая функция обладает таким свойством.

Более точное решение для таких производных по первому принципу может быть дано как: $$f(x)=\int_{3}^{x}{\sqrt{1+t^3}\ dt}$$ Для этой конкретной функции значение производной при $x=3$ должен быть: $$f'(3)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

Приведенное выше уравнение говорит, что $x$ будет меняться только в положительной окрестности $3$.