Задача подсчета: портфели

Question

Предположим, вам и вашему другу преподносят девять идентично выглядящих портфелей, в трех из которых по 100 долларов, а остальные пусты. Вы оба по очереди выбираете портфели (первый выбирает 5, а второй - 4), и только в конце портфели открываются. Я ответил на 1-4 части этих вопросов по HW, но не знаю, как сделать последнее:

1. Если вы пойдете первым, какова вероятность того, что вы выберете пустой портфель в свой первый ход.
2. Допустим, вы пошли первым и выбрали пустой портфель. Какова вероятность того, что ваш друг также выберет пустой портфель в свой первый ход, учитывая, что вы также выбрали пустой портфель в свой первый ход.
3. Допустим, вы пошли первым и взяли портфель со 100 долларами. Какова вероятность того, что ваш друг выберет пустой портфель в свой первый ход, учитывая, что вы также выбрали один со 100 долларами в свой первый ход.
4. Если игра закончится после того, как каждому игроку будет дан только один ход, покажите, что вероятность того, что вы выберете портфель со 100 долларами, одинакова независимо от того, начинаете вы или нет.
5. Если игра закончится после того, как будет выбран каждый чемодан, что лучше будет начать или пойти вторым?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Цель игры - заработать как можно меньше денег, поскольку «азартные игры - это плохо».

---

Моя попытка:

1. Ответ - нет. способов выбрать пустой портфель, разделив его на число. способов выбрать портфель. Это 6C1 (так как есть 6 пустых портфелей) деленное на 9C1, что равно 2/3.

2. Я считаю, что ответ на это 2/3 (из части 1), умноженный на 5C1 (так как теперь осталось 5 пустых портфелей, и друг выбирает один из них), разделенные на 8C1 (так как теперь осталось только 8 случаев на выбор. ). Это ок. 0,4167.

3. Я считаю, что это $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $, поскольку первый человек должен выбрать один из трех портфелей с деньгами из девяти, а второй должен выбрать один. из 6 пустых портфелей из 8 оставшихся. Это 0,25.

4. Я думал подходить к этому, рассматривая четыре разных события, где:

   • Событие A: вы идете первым и получаете 100 долларов, затем друг выбирает пустую.
   • Событие B: вы идете первым и получаете 100 долларов, затем друг также получает 100 долларов.
   • Событие C: Ваш друг идет первым и получает 100 долларов, затем вы также получаете 100 долларов.
   • Событие D: Ваш друг идет первым и выбирает пустой, затем вы получаете 100 долларов.

   Следовательно, если вы пойдете первым, вероятность получения 100 долларов будет равна вероятности события A плюс вероятность события B. Если вы пойдете вторым, это вероятность события C плюс вероятность события D. Оба эти выражения равны $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $, что составляет 1/3.

5. В этой части я не понимаю, как подойти к делу, так как существует множество различных последовательностей, возможно, выбор 6 пустых портфелей и 3 по 100 долларов.

Любой совет будет очень признателен.

Answer 1

Если вы пойдете первым, количество "денежных" чемоданов, которые вы получите, следует гипергеометрическому распределению , так как ваши пять чемоданов тянутся без замены из популяции$3$ "денежные" чемоданы и $6$ пустые.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

Если вы пойдете вторым, соответствующие вероятности будут в обратном порядке. Вы можете видеть, что игрок, идущий первым, обычно получает чемоданы с деньгами.

Answer 2

Ваш ответ в пункте 2 неверен.

Допустим, вы пошли первым и выбрали пустой портфель. Какова вероятность того, что ваш друг также выберет пустой портфель в свой первый ход, учитывая, что вы также выбрали пустой портфель в свой первый ход.

Вы должны предположить, что вы уже пошли первым и выбрали пустой портфель. Это означает, что осталось 8 портфелей, из которых только 5 пустые.

Ответ

$$\frac{5}{8}.$$

По той же причине, что и выше, ответ на # 3:

$$\frac{6}{8}.$$

№4 сложен и может быть атакован двумя разными способами.

Пешеходный подход заключается в том, что

• ваш шанс получить портфель с деньгами, если вы пойдете первым, $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• если вы пойдете вторым, есть две возможности: либо ваш друг выбрал пустой портфель, а затем вы выбрали тот, который был с деньгами, либо ваш друг взял портфель с деньгами, а вы также выбрали один с деньгами.

  Комбинированные вероятности здесь $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

Более элегантный анализ состоит в том, чтобы заключить, что выбор портфеля математически эквивалентен случайному вручению портфеля. Если модератор наугад выбирает два портфеля, один для вас и один для вашего друга, вероятность того, что ваш портфель содержит деньги, не зависит от того, передаст ли модератор вам ваш портфель до или после того, как модератор передаст ваш портфель другу.

Править
Я неверно истолковал

Если игра закончится после того, как будет выбран каждый чемодан, что лучше будет начать или пойти вторым?

Если вы пойдете первым, вам дадут 5 портфелей, а вашему другу только 4 портфеля. Это равносильно тому , делая вид , что есть 10 Портфели, а не 9, а 10 - й чемоданчик вынужден быть пустым.

Следовательно, если вы пойдете первым, у вас будет 5 портфелей, в любом из которых могут быть деньги. Если вы пойдете вторым, один из ваших портфелей (воображаемый 10-й портфель) окажется пустым.

Следовательно, человек, идущий вторым, может рассчитывать на меньшие деньги.