DSP - Дискретное косинусное преобразование DFT

DCT (дискретное косинусное преобразование) - это последовательность из N входов x (n), 0≤n≤N-1, как линейное преобразование или комбинация комплексных экспонент. В результате коэффициенты ДПФ, как правило, являются комплексными, даже если x (n) является действительным.

Предположим, мы пытаемся найти ортогональное преобразование, которое имеет структуру N × N, которая выражает действительную последовательность x (n) как линейную комбинацию косинусной последовательности. Мы уже знаем, что -

$ Икс (К) = \ Displaystyle \ сумма \ limits_ {п = 0} ^ {N-1} х (п) соз \ гидроразрыва {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

И $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Это возможно, если последовательность N точек x (n) действительна и четна. Таким образом, $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. Само получившееся ДПФ является реальным и четным. Эти вещи проясняют, что мы могли бы разработать дискретное косинусное преобразование для любой N-точечной действительной последовательности, взяв 2N-точечное ДПФ «четного расширения» последовательности.

DCT, в основном, используется при обработке изображений и речи. Он также используется при сжатии изображений и речевых сигналов.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad, где \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (к) = \ Displaystyle \ сумма \ limits_ {N = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad, где \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad где \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad, где \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT определяется как

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad где \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad или \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad, где \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad где \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $