Цифровая обработка сигналов - Введение в DFT

Подобно преобразованию Фурье сигнала непрерывного времени, преобразование Фурье с дискретным временем может использоваться для представления дискретной последовательности в ее эквивалентном представлении в частотной области и системе дискретного времени LTI и для разработки различных вычислительных алгоритмов.

X (jω) в непрерывном FT является непрерывной функцией x (n). Однако DFT имеет дело с представлением x (n) с выборками его спектра X (ω). Следовательно, этот математический инструмент имеет большое значение в вычислительном отношении в удобном представлении. С помощью этого инструмента можно обрабатывать как периодические, так и непериодические последовательности. Для выборки периодических последовательностей необходимо увеличить период до бесконечности.

Выборка в частотной области

Из введения становится ясно, что нам нужно знать, как действовать в рамках выборки в частотной области, т.е. выборки X (ω). Следовательно, связь между дискретизированным преобразованием Фурье и ДПФ устанавливается следующим образом.

Точно так же периодические последовательности могут соответствовать этому инструменту, если увеличить период N до бесконечности.

Пусть непериодическая последовательность равна $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

Определяя его преобразование Фурье,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... уравнение (1)

Здесь X (ω) дискретизируется периодически на каждом интервале радиан δω.

Поскольку X (ω) периодичен в 2π радиан, нам нужны выборки только в основном диапазоне. Выборки берутся через эквидистантные интервалы в диапазоне частот 0≤ω≤2π. Расстояние между эквивалентными интервалами составляет $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ радиан.

Теперь оцениваем, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

где k = 0,1, …… N-1

После разделения приведенного выше и изменения порядка суммирования

$ Икс (\ гидроразрыва {2 \ pi} {N} к) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... уравнение (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad периодическая \ quad функция \ quad из \ quad периода \ quad N \ quad и \ quad его \ quad фурье \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

где, n = 0,1,… .., N-1; 'p' - обозначает периодический объект или функцию

Коэффициенты Фурье:

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... уравнение (4)

Сравнивая уравнения 3 и 4, получаем:

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... уравнение (5)

$ NC_k = Икс (\ гидроразрыва {2 \ pi} {N} к) = Икс (е ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... уравнение (6)

Из разложения в ряд Фурье,

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... уравнение (7)

Где n = 0,1,…, N-1

Здесь мы получили периодический сигнал от X (ω). $ x (n) $ может быть извлечен из $ x_p (n) $ только в том случае, если во временной области нет алиасинга. $ N \ geq L $

N = период $ x_p (n) $ L = период $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & В противном случае \ end {ases} $

Таким образом достигается отображение.

Свойства ДПФ

Линейность

В нем говорится, что ДПФ комбинации сигналов равно сумме ДПФ отдельных сигналов. Возьмем два сигнала x ₁ (n) и x ₂ (n), для которых ДПФ s равны X ₁ (ω) и X ₂ (ω) соответственно. Так что если

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ и $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Тогда $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

где a и b являются константами.

Симметрия

Свойства симметрии ДПФ могут быть получены аналогично тому, как мы вывели свойства симметрии ДПФ. Мы знаем, что ДПФ последовательности x (n) обозначается X (K). Теперь, если x (n) и X (K) являются комплекснозначной последовательностью, то ее можно представить как под

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

И $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Свойство двойственности

Рассмотрим сигнал x (n), ДПФ которого задается как X (K). Пусть последовательность конечной длительности будет X (N). Тогда согласно теореме двойственности

Если, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Тогда $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Итак, используя эту теорему, если мы знаем ДПФ, мы можем легко найти последовательность конечной длительности.

Сложные сопряженные свойства

Предположим, имеется сигнал x (n), ДПФ которого также известно нам как X (K). Теперь, если комплексно-сопряженный сигнал задан как x * (n), то мы можем легко найти ДПФ без особых вычислений, используя теорему, показанную ниже.

Если, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Тогда $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Круговой сдвиг частоты

Умножение последовательности x (n) на комплексную экспоненциальную последовательность $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ эквивалентно круговому сдвигу ДПФ на L единиц по частоте. Это двойное свойство циклического сдвига во времени.

Если, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Тогда $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Умножение двух последовательностей

Если имеется два сигнала x ₁ (n) и x ₂ (n) и их соответствующие ДПФ равны X ₁ (k) и X ₂ (K), то умножение сигналов во временной последовательности соответствует циклической свертке их ДПФ.

Если, $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Теорема Парсеваля

Для комплексных последовательностей x (n) и y (n) в общем случае

Если, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Тогда $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( К) У ^ * (К) $