DSP - примеры решения Z-преобразования

Пример 1

Найдите реакцию системы $ s (n + 2) -3s (n + 1) + 2s (n) = \ delta (n) $, когда все начальные условия равны нулю.

Solution - Взяв Z-преобразование с обеих сторон приведенного выше уравнения, мы получим

$$ S (z) Z ^ 2-3S (z) Z ^ 1 + 2S (z) = 1 $$

$ \ Rightarrow S (z) \ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {(z-2) (z-1)} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {z-2} - \ frac {1} {z-1} $

Взяв обратное Z-преобразование приведенного выше уравнения, мы получим

$ S (n) = Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-2}] - Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

Пример 2

Найдите системную функцию H (z) и отклик единичной выборки h (n) системы, разностное уравнение которой описывается следующим образом:

$ y (n) = \ frac {1} {2} y (n-1) + 2x (n) $

где y (n) и x (n) - выход и вход системы соответственно.

Solution - Взяв Z-преобразование приведенного выше разностного уравнения, мы получаем

$ y (z) = \ frac {1} {2} Z ^ {- 1} Y (Z) + 2X (z) $

$ = Y (Z) [1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}] = 2X (Z) $

$ = H (Z) = \ frac {Y (Z)} {X (Z)} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}]} $

Эта система имеет полюс в $ Z = \ frac {1} {2} $ и $ Z = 0 $ и $ H (Z) = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

Следовательно, взяв обратное Z-преобразование вышеупомянутого, мы получим

$ h (n) = 2 (\ frac {1} {2}) ^ nU (n) $

Пример 3

Определить Y (z), n≥0 в следующем случае -

$ y (n) + \ frac {1} {2} y (n-1) - \ frac {1} {4} y (n-2) = 0 \ quad при \ quad y (-1) = y ( -2) = 1 $

Solution - Применяя Z-преобразование к приведенному выше уравнению, мы получаем

$ Y (Z) + \ frac {1} {2} [Z ^ {- 1} Y (Z) + Y (-1)] - \ frac {1} {4} [Z ^ {- 2} Y ( Z) + Z ^ {- 1} Y (-1) +4 (-2)] = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) + \ frac {1} {2Z} Y (Z) + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {4Z ^ 2} Y (Z) - \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) [1+ \ frac {1} {2Z} - \ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {2} $

$ \ Rightarrow Y (Z) [\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ Rightarrow Y (Z) = \ frac {Z (1-2Z)} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $