DSP - круговая свертка DFT
Возьмем две последовательности конечной длительности x 1 (n) и x 2 (n), имеющие целую длину как N. Их ДПФ равны X 1 (K) и X 2 (K) соответственно, что показано ниже -
$$ X_1 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0,1,2 .. .N-1 $$ $$ X_2 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0 , 1,2 ... N-1 $$Теперь мы попытаемся найти ДПФ другой последовательности x 3 (n), которая задается как X 3 (K)
$ X_3 (K) = X_1 (K) \ раз X_2 (K) $
Взяв IDFT из вышеизложенного, мы получаем
$ x_3 (n) = \ гидроразрыва {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} X_3 (K) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $
После решения вышеуказанного уравнения, наконец, мы получаем
$ x_3 (n) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {m = 0} ^ {N-1} x_1 (m) x_2 [((nm)) _ N] \ quad m = 0,1,2 ... N- 1 $
| Пункты сравнения | Линейная свертка | Круговая свертка |
|---|---|---|
| Смещение | Линейное переключение | Круговое переключение |
| Образцы в результате свертки | $ N_1 + N_2−1 $ | $ Макс (N_1, N_2) $ |
| Поиск отклика фильтра | Возможный | Возможно с нулевым отступом |
Методы круговой свертки
Как правило, есть два метода, которые используются для выполнения круговой свертки, и они:
- Метод концентрического круга,
- Матричный метод умножения.
Метод концентрического круга
Пусть $ x_1 (n) $ и $ x_2 (n) $ - две заданные последовательности. Шаги, выполняемые для круговой свертки $ x_1 (n) $ и $ x_2 (n) $, следующие:
Возьмите два концентрических круга. Нанесите N образцов $ x_1 (n) $ на окружность внешнего круга (сохраняя равное расстояние между точками) в направлении против часовой стрелки.
Для построения $ x_2 (n) $ постройте N выборок $ x_2 (n) $ по часовой стрелке на внутреннем круге, начальный образец помещен в ту же точку, что и 0- й образец $ x_1 (n) $.
Умножьте соответствующие образцы на двух кругах и сложите их, чтобы получить результат.
Поворачивайте внутренний круг против часовой стрелки по одному образцу за раз.
Матричный метод умножения
Матричный метод представляет две заданные последовательности $ x_1 (n) $ и $ x_2 (n) $ в матричной форме.
Одна из заданных последовательностей повторяется посредством циклического сдвига по одной выборке за раз, чтобы сформировать матрицу NXN.
Другая последовательность представлена как матрица столбцов.
Умножение двух матриц дает результат круговой свертки.