DSP - Z-Transform Введение

Дискретное временное преобразование Фурье (DTFT) существует для сигналов энергии и мощности. Z-преобразование также существует для сигналов типа «ни энергия, ни мощность» (NENP), только до определенной степени. Замена $ z = e ^ {jw} $ используется для преобразования Z-преобразования в DTFT только для абсолютно суммируемого сигнала.

Таким образом, Z-преобразование дискретного временного сигнала x (n) в ряд по степеням может быть записано как -

$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

Вышеприведенное уравнение представляет собой двустороннее уравнение Z-преобразования.

Как правило, когда сигнал Z-преобразован, его можно представить как -

$$ X (Z) = Z [x (n)] $$

Или $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $

Если это непрерывный сигнал времени, то Z-преобразования не нужны, потому что используются преобразования Лапласа. Однако сигналы дискретного времени можно анализировать только с помощью Z-преобразования.

Регион конвергенции

Область конвергенции - это диапазон комплексной переменной Z в Z-плоскости. Z-преобразование сигнала конечное или сходящееся. Итак, ROC представляет собой тот набор значений Z, для которого X (Z) имеет конечное значение.

Свойства ROC

В РПЦ нет полюса.
Для правостороннего сигнала ROC будет вне круга в Z-плоскости.
Для левостороннего сигнала ROC будет внутри круга в Z-плоскости.
Для стабильности ROC включает единичный круг в Z-плоскости.
Для двустороннего сигнала ROC представляет собой кольцо в Z-плоскости.
Для сигнала конечной длительности ROC представляет собой всю Z-плоскость.

Z-преобразование однозначно характеризуется -

Выражение X (Z)
ROC X (Z)

Сигналы и их ROC

х (п)	Х (Z)	ROC
$ \ delta (n) $	$ 1 $	Вся плоскость Z
$ U (n) $	$ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $	Мод (Z)> 1
$ а ^ ню (п) $	$ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $	Мод (Z)> Мод (а)
$ -a ^ nu (-n-1) $	$ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $	Mod (Z) <Mod (a)
$ на ^ ну (п) $	$ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $	Мод (Z)> Мод (а)
$ -a ^ nu (-n-1) $	$ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $	Mod (Z) <Mod (a)
$ U (п) \ соз \ омега п $	$ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $	Мод (Z)> 1
$ U (п) \ грех \ омега п $	$ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $	Мод (Z)> 1