DSP - DFT преобразование частоты времени
Мы знаем, что когда $ \ omega = 2 \ pi K / N $ и $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ становится непрерывной переменной, а суммирование пределов становится $ - \ infty $ до $ + \ infty $.
Следовательно,
$$ NC_k = Икс (\ гидроразрыва {2 \ pi} {N} к) = Икс (е ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) е ^ {\ гидроразрыва {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$Преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT)
Мы знаем, что $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $
Где $ X (e ^ {j \ omega}) $ непрерывно и периодично по ω с периодом 2π. … Уравнение (1)
Сейчас же,
$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … Из ряда Фурье
$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $
ω становится непрерывным и $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $ по причинам, указанным выше.
$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Уравнение (2)
Обратное дискретное временное преобразование Фурье
Символично,
$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (пара преобразований Фурье)
Необходимое и достаточное условие существования дискретного преобразования Фурье для непериодической последовательности x (n) является абсолютно суммируемым.
т.е. $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $
Свойства DTFT
Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Time shifting- $ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $
Time Reversal- $ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega}) $
Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $
Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $
Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Multiplication- $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $
Symmetry- $ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;
$ x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;
$ Реальный [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {даже} (e ^ {j \ omega}) $;
$ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {odd} (e ^ {j \ omega}) $;
$ x_ {даже} (n) \ Leftrightarrow Настоящее [x (e ^ {j \ omega})] $;
$ x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;
Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $
Ранее мы изучали дискретизацию в частотной области. Обладая этими базовыми знаниями, мы выбираем $ X (e ^ {j \ omega}) $ в частотной области, чтобы на основе этих выборочных данных можно было провести удобный цифровой анализ. Следовательно, ДПФ дискретизируется как во временной, так и в частотной области. В предположении $ x (n) = x_p (n) $
Следовательно, ДПФ определяется как -
$ Икс (к) = ДПФ [х (п)] = Икс (\ гидроразрыва {2 \ пи} {N} к) = \ Displaystyle \ сумма \ limits_ {п = 0} ^ {N-1} х (п) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)
И IDFT дается -
$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … уравнение (4)
$ \ поэтому x (n) \ Leftrightarrow X (k) $
Фактор Twiddle
Он обозначается как $ W_N $ и определяется как $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. Его величина всегда поддерживается на уровне единицы. Фаза $ W_N = -2 \ pi / N $. Это вектор на единичной окружности, используемый для удобства вычислений. Математически это можно представить как -
$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $
Это функция r и периода N.
Рассмотрим N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….
$ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0 $
$ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $
Линейное преобразование
Давайте разберемся с линейным преобразованием -
Мы знаем это,
$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1 $
$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $
Note- Вычисление ДПФ может быть выполнено с помощью комплексного умножения N 2 и сложения N (N-1).
$ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ четырехъядерный сигнал \ quad x_N $
$ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ четырехъядерный сигнал \ quad X_N $
$ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $
N - точечное ДПФ в матричном члене определяется как - $ X_N = W_Nx_N $
$ W_N \ longmapsto $ Матрица линейного преобразования
$ Теперь, \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $
IDFT в матричной форме определяется выражением
$$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$Сравнение двух выражений $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ и $ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $
Следовательно, $ W_N $ - это матрица линейного преобразования, ортогональная (унитарная) матрица.
Из периодического свойства $ W_N $ и его симметричности можно сделать вывод, что $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $
Круговая симметрия
N-точечное ДПФ конечной длительности x (n) длины N≤L эквивалентно N-точечному ДПФ периодического расширения x (n), то есть $ x_p (n) $ периода N. и $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Теперь, если мы сдвинем последовательность, которая является периодической последовательностью на k единиц вправо, получится другая периодическая последовательность. Это называется круговым сдвигом и определяется выражением
$$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$Новую конечную последовательность можно представить в виде
$$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & В противном случае \ end {ases} $$Example - Пусть x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,
$ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, по модулю \ quad N) \ Equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ quad shift \ quad и \ quad N = 4, $
Предполагается, что направление по часовой стрелке положительное.
Мы получили, $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $
$ х \ простое (0) = х ((- 2)) _ 4 = х (2) = 4 $
$ x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $
$ х \ простое (2) = х ((- 2)) _ 4 = х (0) = 1 $
$ х \ простое (3) = х ((1)) _ 4 = х (1) = 2 $
Conclusion - Круговой сдвиг N-точечной последовательности эквивалентен линейному сдвигу ее периодического продолжения и наоборот.
Круговая четная последовательность - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $
Сопряжение четное - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $
Циклически нечетная последовательность - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $
Сопряжение нечетное - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $
Теперь $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, где,
$ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $
$ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $
Для любого реального сигнала x (n) $ X (k) = X ^ * (Nk) $
$ X_R (k) = X_R (Nk) $
$ X_l (k) = -X_l (Nk) $
$ \ angle X (k) = - \ angle X (NK) $
Time reversal- реверсивный отсчет о 0- й отсчет. Это дается как;
$ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $
Реверсирование времени представляет собой построение выборок последовательности по часовой стрелке, т.е.
Некоторые другие важные свойства
Другие важные свойства IDFT $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $
Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $
Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $
Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $
Complex conjugate properties -
$ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad и $
$ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $
Multiplication of two sequence -
$ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad и \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $
$ \ поэтому x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $
Circular convolution - и умножение двух ДПФ
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $
Circular correlation - Если $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ и $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, то существует взаимная корреляционная последовательность, обозначенная как $ \ bar Y_ {xy} $, такая что $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $
Parseval’s Theorem - Если $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ и $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;
$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $