DSP - Операции свертки сигналов

Свертка двух сигналов во временной области эквивалентна умножению их представления в частотной области. Математически мы можем записать свертку двух сигналов как

$$ y (t) = x_ {1} (t) * x_ {2} (t) $$ $$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (p) .x_ {2 } (tp) dp $$

Шаги для свертки

  • Возьмите сигнал x 1 (t) и положите туда t = p, чтобы он был x 1 (p).
  • Возьмите сигнал x 2 (t), выполните шаг 1 и сделайте его x 2 (p).
  • Сделайте свертку сигнала т.е. x 2 (-p).
  • Сделайте сдвиг во времени вышеуказанного сигнала x 2 [- (pt)]
  • Затем произведите умножение обоих сигналов. т.е. $ x_ {1} (p) .x_ {2} [- (p − t)] $

пример

Сделаем свертку ступенчатого сигнала u (t) с себе подобным.

$ y (t) = u (t) * u (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [u (p) .u [- (pt)] dp $

Теперь это t может быть больше или меньше нуля, что показано на рисунках ниже.

Итак, в приведенном выше случае результат возникает со следующими возможностями

$ y (t) = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\\ int_ {0} ^ {t} 1dt, & for \ quad t> 0 \ end {ases} $

$ = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\ t, & t> 0 \ end {ases} = r (t) $

Свойства свертки

Коммутативный

В нем говорится, что порядок свертки не имеет значения, что математически можно показать как

$$ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = x_ {2} (t) * x_ {1} (t) $$

Ассоциативный

В нем говорится, что порядок свертки, включающий три сигнала, может быть любым. Математически это можно представить как;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) * x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t)] * x_ {3} (t) $$

Распределительный

Сначала могут быть добавлены два сигнала, а затем их свертка может быть произведена в третий сигнал. Это эквивалентно свертке двух сигналов по отдельности с третьим сигналом и окончательно сложенным. Математически это можно записать как;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) + x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t) + x_ {1} ( t) * x_ {3} (t)] $$

Площадь

Если сигнал является результатом свертки двух сигналов, тогда площадь сигнала - это умножение этих отдельных сигналов. Математически это можно записать

Если $ y (t) = x_ {1} * x_ {2} (t) $

Тогда Площадь y (t) = Площадь x 1 (t) X Площадь x 2 (t)

Масштабирование

Если два сигнала масштабируются до некоторой неизвестной константы «а» и выполняется свертка, то результирующий сигнал также будет свернут до той же константы «а» и будет разделен на эту величину, как показано ниже.

Если, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Тогда $ x_ {1} (at) * x_ {2} (at) = \ frac {y (at)} {a}, a \ ne 0 $

Задержка

Предположим, что сигнал y (t) является результатом свертки двух сигналов x1 (t) и x2 (t). Если два сигнала задерживаются на время t1 и t2 соответственно, то результирующий сигнал y (t) будет задержан на (t1 + t2). Математически это можно записать как -

Если, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Тогда $ x_ {1} (t-t_ {1}) * x_ {2} (t-t_ {2}) = y [t- (t_ {1} + t_ {2})] $

Решенные примеры

Example 1 - Найдите свертку сигналов u (t-1) и u (t-2).

Solution- Данными сигналами являются u (t-1) и u (t-2). Их свертку можно выполнить, как показано ниже -

$ y (t) = u (t-1) * u (t-2) $

$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [u (t-1) .u (t-2)] dt $

$ = г (т-1) + г (т-2) $

$ = г (т-3) $

Example 2 - Найдите свертку двух сигналов, заданных

$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $

$ x_ {2} (n) = \ begin {cases} 2, & 0 \ leq n \ leq 4 \\ 0, & x> в другом месте \ end {cases} $

Solution -

x 2 (n) можно декодировать как $ x_ {2} (n) = \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $

x 1 (n) предварительно задано $ = \ lbrace 3, -2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

Точно так же $ x_ {2} (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $.

Результирующий сигнал,

$ X (Z) = X_ {1} (Z) X_ {2} (z) $

$ = \ lbrace 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {-4} \ rbrace $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 6Z ^ {- 4} + 6Z ^ {- 5} $

Взяв обратное Z-преобразование вышеупомянутого, мы получим результирующий сигнал как

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $ Origin в первую очередь

Example 3 - Определите свертку следующих 2 сигналов -

$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$

$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$

Solution -

Принимая Z-преобразование сигналов, получаем,

$ x (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} $

И $ h (n) = 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} $.

Теперь свертка двух сигналов означает умножение их Z-преобразований.

То есть $ Y (Z) = X (Z) \ times h (Z) $

$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} \ rbrace $

$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ {- 1} + 8Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 3Z ^ {- 4} + 3Z ^ {- 5} + Z ^ {- 6} \ rbrace $

Используя обратное Z-преобразование, результирующий сигнал можно записать как;

$ y (n) = \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $