Bu formül nasıl basitleştirilir [kapalı]

Question

Bu denklem bende: $\frac{\sqrt{(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(-a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(a-b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(a+b-\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})}}{4}$

Bir üçgenin yalnızca 2 kenarını kullanarak bir üçgenin alanını hesaplar $a, b$ve bu tarafların açısı, $\gamma$. Basitçe kosinüs yasasını ve Heron Formülünü birleştirir. Aynı işlevi elde etmenin herhangi bir yolu var mı ve bu denklemi basitleştirmek mümkün mü?

Answer 1

İzin Vermek $c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$ ve $P_1,P_2,P_3,P_4$karekök içindeki 4 faktör olabilir. Farkına varmak

• $P_1 P_4 = (a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2 = 2ab(1+\cos\gamma)$,
• $P_2 P_3 = (-a+b+c)(a-b+c) = c^2-(a-b)^2 = 2ab(1-\cos\gamma)$

Sahibiz $$\frac{\sqrt{P_1P_2P_3P_4}}{4} = \frac{\sqrt{(2ab)^2(1-\cos^2\gamma)}}{4} = \frac12 ab\sin\gamma$$

Answer 2

IMHO ile başladıysanız

$A = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$ ile $s = \frac{a+b+c}{2}$ ve kullanılmış $\cos \gamma = \frac{a²+b²-c²}{2ab}$ örneğin burada tanımlandığı gibi: https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula

sonra matematiği kullanmaktan kaçınmak için yeniden $c$ bir işlevi olarak yazarak $a$, $b$ ve $ \gamma $iyi ve doğru olmalı. Yaptın mı