A- सिद्धांत की परिभाषा पर
Waldhausen का A- सिद्धांत, बीजीय कश्मीर के-सिद्धांत का एक संस्करण है। लगातार, एक (इंगित) स्थान के लिए$X$, वह 'Waldhausen श्रेणी' पर विचार करता है $\mathcal R_f(X)$ परिमित वापस लेने योग्य CW-परिसरों पर $X$, लागू होता है $S_{\bullet}$ इसके लिए निर्माण, और एक अनंत लूप स्थान प्राप्त करता है, $A(X)$। मस्ती करने वाला$A$ उच्च-आयामी ज्यामितीय टोपोलॉजी में अत्यंत महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, परिभाषा में यह प्रमुखता से है $Wh^{\text{Diff}}(X)$, और पैरामीट्रिक में $h$Waldhausen, Jahren और Rognes द्वारा -Cobordism प्रमेय।
कुछ समय के लिए, मुझे विश्वास था कि $A(X)$ समान रूप से वर्णित किया जा सकता है (आधुनिक मशीनरी का उपयोग करके जब वाल्डहॉउस ने अपना सिद्धांत विकसित नहीं किया था) $K$-रिंग स्पेक्ट्रम का सिद्धांत $\sum^{\infty}_+ \Omega X$, उपयुक्त व्याख्या।
इस सप्ताह मैंने सीखा कि जब यह जुड़े हुए घटकों को समझने का काम कर सकता है, तो यह सही विवरण नहीं देता है $\pi_0$: किसी भी जुड़े हुए स्थान के लिए $X$, $\pi_0A(X)$ सादा है $\mathbb Z$, रिश्तेदार सेल परिसर के रिश्तेदार यूलर विशेषता द्वारा दिया जाता है। इसके अलावा, विहित नक्शा$A(X) \to K(\mathbb Z\pi_1(X))$ विहित मानचित्र को प्रेरित करता है $\mathbb Z \to K_0(\mathbb Z\pi_1(X))$ जुड़े हुए घटकों पर, और इस मानचित्र का कोकबर्न है $\tilde{K}_0(\mathbb Z \pi_1)$, जो अक्सर गैर-तुच्छ होता है। (देखें वॉल की सुंदरता में बाधा)।
तो मेरा सवाल निम्नलिखित है: सकता है $A$-सामान्य रूप से सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्सों के परिमित के रूप में वर्चस्व के रूप में परिभाषित किया गया है, और फिर मेरा मानना है कि वास्तव में क्या है? और हमें बस यह ध्यान रखना है कि यह अंतर है$\pi_0$, लेकिन इसके अलावा सब ठीक है? या वहाँ कुछ और अधिक पर्याप्त चल रहा है?
क्षमा करें यदि यह प्रश्न शायद अस्पष्ट है, लेकिन यह मेरी भावना है कि मैं केवल एक ही ऐसा व्यक्ति नहीं हूं जो इस बारे में हैरान हो सकता हूं ...
जवाब
चूंकि प्रश्न अनुत्तरित है, मुझे टॉम गुडविल की टिप्पणी की नकल करने दें:
यदि आप परिमित के बजाय सूक्ष्मता से हावी होने देते हैं, तो यह केवल dom0 में बदल जाता है। अनुरूपता में, K (R) को परिभाषित करने में यदि आप नि: शुल्क के बजाय बारीक उत्पन्न प्रक्षेपक मॉड्यूल का उपयोग करते हैं, तो यह केवल .0 बदलता है। मेरा मानना है कि वॉलडहॉसन के बड़े फाउंडेशनल पेपर में कहीं न कहीं इस पर चर्चा हुई है। और ईकेएमएम पुस्तक में संयोजी रिंग स्पेक्ट्रा के लिए इसी मुद्दे पर चर्चा की गई है।
अधिक विस्तार से, के लिए $X$ एक जुड़ा स्थान (∞-) परिपूर्ण की श्रेणी $\mathbb{S}[\Omega X]$-मोड्यूल्स स्पाइनियर-व्हाइटहेड की श्रेणी है, जो कि बेहतर वर्चस्व वाले वापस लेने योग्य सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स की श्रेणी है $X$, और इसलिए इसका एक ही बीजगणितीय के-सिद्धांत है। सीमित सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स को खत्म करने के लिए सीमित प्रतिबंध$X$ पूर्ण के स्थिर उपश्रेणी लेने से मेल खाती है $\mathbb{S}[\Omega X]$- कोलमिट के तहत मुक्त लोगों द्वारा उत्पन्न -modules, और इसलिए Waldhausen के cofinality प्रमेय द्वारा यह सिर्फ जगह देता है $\pi_0$ साथ से $\mathbb{Z}$।
यह जैकब लुरी के पाठ्यक्रम बीजगणितीय के-सिद्धांत और कई गुना टोपोलॉजी के व्याख्यान 21 में विस्तार से काम किया गया है । विशेष रूप से चेतावनी ~ 9 पर ध्यान दें, जहां लूरी टिप्पणी करता है कि ए-सिद्धांत की उसकी परिभाषा केवल "पारंपरिक" से अलग है$\pi_0$।