आदेश में आदर्श आदर्श
चलो $\overline{T}$ एक Dedekind अंगूठी हो ऐसा $\overline{T}/\overline{I}$ हर गैर-आदर्श के लिए परिमित है $\overline{I}$ का $\overline{T}$। चलो$T$ का एक सबरिंग हो $\overline{T}$ अंशों की एक ही कुल अंगूठी (यानी एक आदेश) के साथ।
चलो $I$ का एक आदर्श हो $T$ और जाने $\overline{I} = I\overline{T}$। आदर्श $N_T(I)$ का $I$ की कार्डिनैलिटी के रूप में परिभाषित किया गया है $T/I$।
प्रश्न: क्या कोई सूत्र संबंधित है?$N_T(I)$ तथा $N_{\overline{T}}(\overline{I})$?
उदाहरण के लिए, यह प्रशंसनीय लगता है कि विसंगति को कुछ "टॉर" समूह द्वारा मापा जाता है।
टिप्पणियों:
- अगर $I$ प्रोजेक्टिव है $N_T(I)$ तथा $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ बराबर हैं।
- जब स्थानीयकरण समस्या को कम करता है $T$ स्थानीय है (और $\overline{T}$ अर्ध-स्थानीय है), और दोनों $I$ और का संवाहक $T$ उचित आदर्श हैं।
- (ल्यूक गुयोट के लिए धन्यवाद) यदि $T$एक बास की अंगूठी है ($\leftrightarrow$ हर मध्यवर्ती रिंग $T \subset R \subset \overline{T}$ गोरेन्स्टाइन है $\leftrightarrow$ प्रत्येक आदर्श दो तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है), और $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, तब तक [2, प्रस्ताव 5.8] $I$अनुमानित है। यह इस प्रकार है कि$N_T(I)$ तथा $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ बराबर हैं (पहली टिप्पणी के द्वारा)।
- (तीसरी टिप्पणी का सामान्यीकरण) यदि $T$एक गोरेन्स्टाइन अभिन्न डोमेन है और$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, तब फिर $I$अनुमानित है। यह प्रमेय ६.१ [१] के साथ प्रमेय ६.२ (४) के संयोजन से आता है। यह इस प्रकार है कि$N_T(I)$ तथा $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ बराबर हैं (पहली टिप्पणी के द्वारा)।
[१] एच। बैस, "गोरेन्स्टाइन रिंग्स की सर्वव्यापकता पर", १ ९ ६३।
[२] एल। लेवी और आर। विएगैंड, "डेडेकिंड जैसा व्यवहार २-जनरेट किए गए आदर्शों वाले छल्ले", १ ९ Le५।
जवाब
मैं एक सामान्य टिप्पणी के साथ शुरू करूंगा, जिसे द्विघात संख्या क्षेत्र के एक मनमाने क्रम में गणना द्वारा चित्रित किया जाएगा।
अगर $\overline{I}$ के लिए अनुबंध $I$, यानी, अगर $\overline{I} \cap R = I$, फिर समावेश $R \rightarrow \overline{R}$ एक इंजेक्शन लगाता है $R$-मॉडल होमोओर्फिज्म $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$। नतीजतन,$N_R(I)$ बांटता है $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ और विशेष रूप से हमारे पास है $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$। अगर उदाहरण के लिए$I$ एक प्रमुख आदर्श है, फिर $N_R(I)$ बांटता है $N_{\overline{R}}(\overline{I})$।
अंतर्निहित प्रश्न जिसका मैं उत्तर देने में विफल हूं:
सवाल। क्या यह हमेशा सच है$N_R(I)$ बांटता है $N_{\overline{R}}(\overline{I})$, या कम से कम $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$?
संपादित करें। ओपी जवाब में एक प्रमाण होता है कि$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ हर गैर-शून्य आदर्श के लिए सही है $R$।
मैं उपरोक्त प्रश्न को संबोधित नहीं करूंगा। इसके बजाय, मैं एक शर्त पेश करूंगा$R$ जिसके अंतर्गत $N_R(I)$ बांटता है $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ प्रत्येक गैर-शून्य आदर्श के लिए $I$ का $R$।
प्रस्ताव। यदि एक गैर-शून्य आदर्श$I$ का $R$ गुणक की अपनी अंगूठी पर अनुमानित है $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$, तो हमारे पास हैं $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$
साइड नोट। उस$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ कहां है $K$ के अंशों के क्षेत्र को दर्शाता है $R$, जबसे $R$ नोथेरियन है।
लेम्मा 1 (ओपी का दावा) । अगर$I$ का एक उलटा आदर्श है $R$ तब फिर $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$।
सबूत। सबसे पहले, एक गैर-शून्य प्रिंसिपल आदर्श के लिए बयान को साबित करें$I$। फिर विघटित करें$R$-अमित परिमित लंबाई का $\overline{R}/\overline{I}$ के अधिकतम आदर्शों के संबंध में इसके स्थानीयकरणों के प्रत्यक्ष योग के रूप में $R$[४, प्रमेय २.१३]। के लिए ही करें$R/I$ और सारांश के कार्डिनैलिटी की तुलना करें।
प्रस्ताव का प्रमाण। लेम्मा 1 द्वारा, हमारे पास है$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$। इसलिये$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$।
ध्यान दें कि यदि $R$ एक ऐसा आदेश है जिसके आदर्श दो-जनित होते हैं (जैसे, द्विघात क्षेत्र में एक आदेश या एक ऐसा क्रम जिसका विभेदक चतुर्थ-शक्ति मुक्त है [2, प्रमेय 3.6]), तब प्रत्येक गैर-शून्य आदर्श $R$संतुष्ट ऊपर प्रस्ताव की परिकल्पना, जैसे देखते हैं, [1], [2] और प्रमेय 4.1, 4.3 और परिणाम होंगे की 4.4 कीथ कॉनराड के नोट्स । ओपी अपनी टिप्पणी और उनके जवाब में इसी तरह के परिणामों पर चर्चा करता है।
चलो $m$एक वर्ग-मुक्त तर्कसंगत पूर्णांक हो। हमलोग तैयार हैं$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ और द्वारा निरूपित करें $\mathcal{O}(K)$ द्विघात क्षेत्र के पूर्णांकों की अंगूठी $K$।
ढीली दावा। एक आदेश दिया$R$ का $K$ और एक आदर्श $I \subseteq R$, हम गणना करेंगे $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ के एक समारोह के रूप में $N_R(I)$ और एक द्विआधारी द्विघात रूप से जुड़ा हुआ है $I$।
ऐसा करने के लिए, हम कुछ संकेतन और परिभाषाएँ पेश करते हैं।
स्थापना $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ अपने पास $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ और का कोई भी आदेश $K$ रूप का है $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ कुछ तर्कसंगत पूर्णांक के लिए $f > 0$[२, लेम्मा ६.१]। इसके अलावा, समावेश$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ सच है अगर और केवल अगर $f'$ बांटता है $f$। अगर$I$ का एक आदर्श है $\mathcal{O}_f(K)$, तो इसके गुणकों की अंगूठी $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ सबसे छोटा आदेश है $\mathcal{O}$ का $K$ ऐसा है कि $I$ एक आदर्श के रूप में प्रक्षेप्य, समकक्ष रूप से उलटा है $\mathcal{O}$[२, प्रस्ताव ५. 5.8]। हमें ठीक करने दो$f > 0$ और सेट करें $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$
एक आदर्श $I$ का $R$यदि इसे लिखा नहीं जा सकता है तो इसे आदिम कहा जाता है$I = eJ$ कुछ तर्कसंगत पूर्णांक $e$ और कुछ आदर्श $J$ का $R$।
मुख्य उपकरण स्टैंडर्ड बेसिस लेम्मा [5, लेम्मा 6.2 और इसका प्रमाण है]।
लेम्मा 2. Let$I$ एक गैर-शून्य आदर्श बनें $R$। तब तर्कसंगत पूर्णांक मौजूद होते हैं$a, e > 0$ तथा $d \ge 0$ ऐसा है कि $-a/2 \le d < a/2$, $e$ दोनों को विभाजित करता है $a$ तथा $d$ और हमारे पास है $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ पूर्णांक $a, d$ तथा $e$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं $I$। हमारे पास है$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ और पूर्णांक $ae$ आदर्श के बराबर है $N_R(I) = \vert R /I \vert$ का $I$। आदर्श$I$ अगर और केवल अगर आदिम है $e = 1$।
ध्यान दें, तब से $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$तर्कसंगत पूर्णांक $a$ बांटता है $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$। हम उत्पादक जोड़े कहते हैं$(a, d + ef \omega)$के मानक आधार$I$। हमें सहयोगी बनाते हैं$I$ द्विआधारी द्विघात रूप $q_I$ द्वारा परिभाषित $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$
तो हमारे पास हैं $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ साथ से $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$हम सामग्री को परिभाषित करते हैं$c(q_I)$ का $q_I$ अपने गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के रूप में, वह है $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$
रिमार्क। हमारे पास है$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ कहां है $f'$ का विभाजक है $f$ ऐसा है कि $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$।
दावा। चलो$I$ एक गैर-शून्य आदर्श बनें $R$। तो हमारे पास हैं$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$
सबूत। जबसे$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ तथा $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ हर एक के लिए $x \in R \setminus \{0\}$, हम मान सकते हैं, सामान्यता के नुकसान के बिना, कि $I$ आदिम है, अर्थात $e = 1$। यह परिभाषाओं से तुरंत बाद है कि$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ कहां है
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$अब यह स्मिथ नॉर्मल फॉर्म की गणना करने के लिए पर्याप्त है $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ मैट्रिक्स का $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ कहां है $(v_1, v_2)$ का मैट्रिक्स है $v$ के प्रति सम्मान के साथ $\mathbb{Z}$-बासिस $(1, \omega)$ का $\overline{R}$। गुणांक$d_1$ के गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $A$ और आसानी से देखा जा सकता है $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$। गुणांक$d_2$ का सबसे बड़ा आम भाजक है $2 \times 2$ के नाबालिग $A$ द्वारा विभाजित $d_1$ और आसानी से देखा जा सकता है $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$। इस प्रकार$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ वांछित रूप है।
[१] जे। सैली और डब्लू। वास्कोनसेलोस, "स्टेबल रिंग्स", १ ९
2४। [२] सी। ग्रीरियर, "एक-आयामी रिंग के आदर्शों के लिए दो जनरेटर समस्या ", १ ९ 1982२।
[३] एल लेवी और आर। विएगैंड, "डेडेकिंड-जैसे रिंग्स के साथ व्यवहार$2$- आदर्श आदर्श ", 1985.
[4] डी। ईसेनबुड," बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृश्य के साथ संयुक्ताक्षर अल्ग्रेबा ", 1995.
[5] टी। इबुकीयामा और एम। कानेको," द्विघात रूपों और द्विघात क्षेत्रों का आदर्श सिद्धांत ", 2014 ।
मैं दूसरों के लाभ के लिए रिकॉर्डिंग कर रहा हूं कि मेरे ज्ञान के बारे में सामान्य समस्या के बारे में पूरी जानकारी क्या है। ल्यूक गाइयोट ने द्विघात आदेशों के मामले के लिए एक अच्छा और स्पष्ट उत्तर प्रदान किया है।
मैं इस पोस्ट को "उत्तर" के रूप में चिह्नित नहीं करता हूं क्योंकि मूल प्रश्न का उत्तर अभी तक नहीं दिया गया है।
चलो विसंगति एक की$T$-विचार करना $I$ के रूप में परिभाषित किया जाएगा $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (अमानक परिभाषा)।
कब करता है $ds(I) = 1$?
निम्नलिखित प्रमेय कागज का मुख्य उपकरण है [1]। बयान मॉड्यूल इंडेक्स नोटेशन [2] का उपयोग करता है।
प्रमेय [१; प्रमेय 1]:
- $[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$।
- $[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$।
- $[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$।
इसके अलावा, निम्नलिखित समकक्ष हैं:
- (1), (2), (3) के बीच कोई भी सबसेट संबंध एक समानता है।
- (1), (2), (3) के बीच सभी सबसेट संबंध एक समानता है।
- $I$ उलटा है।
इस प्रमेय में "विसंगति" के लिए निम्नलिखित कोरोलरीज हैं। याद है कि अलग है$T$ परिभाषित किया गया है $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ कहां है $T^\vee$ का दोहरी है $T$ ट्रेस फॉर्म के लिए।
कोरोलरी :$ds(I) \geq 1$ समानता के साथ अगर और केवल अगर $I$ उलटा है।
कोरोलरी : निम्नलिखित समतुल्य हैं:
- की विसंगति है $\mathfrak D_{T}$ है $1$।
- हर आदर्श के लिए $I$ का $T$, $ds(I) = 1$ अगर और केवल अगर $T = (I:I)$।
- $T$ गोरेन्स्टाइन है।
इन कोरोलरीज में सब कुछ प्रमेय के तुरंत बाद होता है, दूसरे कोरोलरी के दूसरे बिंदु को छोड़कर, जो कि जाने-माने तुल्यता से आता है $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ कब अ $T$ गोरेन्स्टाइन (cf. उदा। [३; प्रस्ताव ५. c] या [४; प्रस्ताव २.)]]।
द्विघात मामला
[ल्यूक गुयोट के उत्तर में संकेतन के बाद]
उपरोक्त कोरोलरीज का उपयोग करके हम द्विघात मामले को फिर से देखते हैं। विसंगति समरूपताओं के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए हम आदर्श मान सकते हैं$I$ आदिम है ($e = 1$) है। द्वारा [5; लेम्मा 6.5], आदर्श$I$ संतुष्ट करता है $R = (I:I)$ अगर और केवल अगर $\gcd(a,b,c) = 1$। दरअसल, ल्यूक गुयोट के जवाब में विसंगति के लिए सूत्र ठीक है$\gcd(a,b,c)$। (ल्यूक गुयोट के जवाब में टिप्पणी से, हमारे पास भी है$ds(I) = f/f'$ कहां है $f$ का संवाहक है $T$ तथा $f'$ का संवाहक है $(I:I)$।) इस प्रकार सूत्र $ds(I) = c(q_I)$ दूसरे कोरोलरी के अनुरूप है।
ऊपरी सीमा
हम इसके लिए एक ऊपरी सीमा प्राप्त करेंगे $ds(I)$ जो स्वतंत्र है $I$। मेरा ये अनुमान है$T$सादगी के लिए एक डोमेन है। हम यह मान सकते हैं$T \neq \overline{T}$ और सेट करें $S = \overline{T}$। चलो$\mathfrak f$ के कंडक्टर को सूचित करें $T$।
ऊपरी बाध्य : किसी भी टी-भिन्नात्मक आदर्श के लिए$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$
दो $T$-अनुभवी आदर्श एक ही जीनस में हैं यदि वे स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक हैं ; समान रूप से, एक उलटा टी-आदर्श मौजूद है जो एक आदर्श को दूसरे में गुणा करता है।
दावा : कोई भी$T$-आकर्षक आदर्श $I$ के रूप में एक ही जीनस में है $T$-आकर्षक आदर्श $J$ ऐसा है कि $\mathfrak f \subset J \subset S.$
प्रमाण: चलो $P$ का एक प्रमुख आदर्श हो $T$ और जाने $S_P$ के अभिन्न बंद को निरूपित करते हैं $T$(स्थानीयकरण के साथ अभिन्न बंद)। यह निर्माण करने के लिए पर्याप्त है$T_P$-आकर्षक आदर्श जो isomorphic to है $I_P$ ऐसा है कि $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ जहाँ सबस्क्रिप्ट के साथ टेंसिंग को दर्शाता है $T_P$। $S_P$स्थानीय डेडेकिंड के छल्ले का एक परिमित उत्पाद है, इसलिए यह एक पीआईडी है। इसलिये$I_PS_P = \alpha S_P$ कुछ के लिए $\alpha$ में $Quot(T)$। चलो$J_P = \alpha^{-1}I_P$। फिर$J_P \subset S_P$, लेकिन $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$
दावा : विसंगति$ds(I)$ पीढ़ी पर स्थिर है।
प्रमाण: यह स्थानीय रूप से सिद्ध होता है और इसका उपयोग करने के लिए एक औंधा आदर्श है $T$ स्थानीय रूप से प्रमुख है (यह बाद वाला तथ्य [5; प्रस्ताव 2.3] से)।
इन दावों को एक साथ रखते हुए, हमारे पास इसके लिए है $I$ कोई भी $T$-आकर्षक आदर्श, $ds(I) = ds(J)$ कुछ के लिए $T$-आकर्षक आदर्श $J$ ऐसा है कि $\mathfrak f \subset J \subset S$। 1 से; प्रमेय 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$। हमारे पास भी है$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$, इसलिए $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$। लिखो$M' = M/\mathfrak f$ किसी भी मॉड्यूल युक्त के लिए $\mathfrak f$। हमारे पास असमानताओं को एक साथ रखकर
$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$
अंतिम शब्द ऊपर से बंधा हुआ है $|S/T| |S/\mathfrak f|$।
निष्कर्ष
विसंगति समारोह असमानता को संतुष्ट करता है, $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$, किसी के लिए $T$-आकर्षक आदर्श $I$, और द्विघात मामले में कंडक्टरों के संदर्भ में एक स्पष्ट और प्राकृतिक सूत्र मानते हैं। हालांकि यह अज्ञात प्रतीत होता है कि क्या विसंगति समारोह को सामान्य रूप से "बंद रूप" दिया जा सकता है (उदाहरण के लिए, कंडक्टर के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति)$T$के विभेदकों या भेदभाव $T$ तथा $\overline{T}$, चरम या टो समूहों पर $T$ या $\overline{T}$) है।
संदर्भ:
[१] आई। डेल कोरसो, आर। ड्वोर्निकिच, डिस्क्रिमिनेन्ट के बीच संबंध, भिन्न, और एक आदेश के कंडक्टर , २०००।
[२] ए। फ्रॉहिच, स्थानीय क्षेत्र , जेडब्ल्यूएस कैसल्स और ए। फ्रॉहलिच से, बीजीय संख्या सिद्धांत , १ ९ ६ö।
[३] एल। लेवी और आर। विएगैंड, डेडेकिंड जैसा व्यवहार, २-जनक आदर्शों के साथ १ ९ Le५ में।
[४] जे। बुचमन और एचडब्ल्यू लेनस्ट्रा, जूनियर, संख्या क्षेत्रों में पूर्णांकों के लगभग छल्ले , 1994।
[५] वीएम गलकिन, $\zeta$-कुछ एक आयामी रिंगों का निर्माण , 1973।